2020年全国统一高考理科数学试卷（新课标Ⅲ）

已知集合 $A=\left\{\right(x,y\left)\right|x,y\in N^{*},y\ge x\}$ ， $B=\left\{\right(x,y\left)\right|x+y=8\}$ ，则 $A\cap B$ 中元素的个数为（    ）

复数 $\frac{1}{1-3i}$ 的虚部是（    ）

在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $p_1,p_2,p_3,p_4$ ，且 $\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{p}_i=1$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I( t)( t的单位：天)的 Logistic模型： $I\left(t\right)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 K为最大确诊病例数．当 I( $t^{*}$ )=0.95 K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（    ）（ln19≈3）

设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 C： $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 交于 $D$ ， $E$ 两点，若 $\mathit{OD}\perp \mathit{OE}$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（    ）

已知向量 a， b满足 $\left|a\right|=5$ ， $\left|b\right|=6$ ， $a\cdot b=-6$ ，则 $\mathit{cos}⟨a,a+b⟩=$ （    ）

在△ ABC中，cos C= $\frac{2}{3}$ ， AC=4， BC=3，则cos B=（    ）

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

已知2tan θ-tan( θ+ $\frac{\pi }{4}$ )=7，则tan θ=（    ）

若直线 l与曲线 y= $\sqrt{x}$ 和 x ²+ y ²= $\frac{1}{5}$ 都相切，则 l的方程为（    ）

设双曲线 C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （ a>0， b>0）的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，离心率为 $\sqrt{5}$ ． P是 C上一点，且 F ₁ P⊥ F ₂ P．若△ PF ₁ F ₂的面积为4，则 a=（    ）

已知5 ⁵<8 ⁴，13 ⁴<8 ⁵．设 a=log ₅3， b=log ₈5， c=log ₁₃8，则（    ）

若x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\ge 0,\\ 2x-y\ge 0，\\ x\le 1,\end{array}\right.$ ，则z=3x+2y的最大值为_________．

$(x^2+\frac{2}{x}{)}^6$的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

关于函数 f（ x）= $\mathit{sin}x+\frac{1}{\mathit{sin}x}$ 有如下四个命题：

其中所有真命题的序号是__________．

设数列{a_n}满足a₁=3， ${a_n}_{+1}=3a_n-4n$．

（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

如图，在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$ 上，且 $2\mathit{DE}=E{D}_1$ ， $\mathit{BF}=2F{B}_1$ ．

（1）证明：点 $C_1$ 在平面 $\mathit{AEF}$ 内；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ， ，求二面角 $A-\mathit{EF}-A_1$ 的正弦值．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$， $A$， $B$分别为 $C$的左、右顶点．

（1）求 $C$的方程；

（2）若点 $P$在 $C$上，点 $Q$在直线 $x=6$上，且 $\left|\mathit{BP}\right|=\left|\mathit{BQ}\right|$， $\mathit{BP}\perp \mathit{BQ}$，求 $△\mathit{APQ}$的面积．

设函数 $f\left(x\right)=x^3+\mathit{bx}+c$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点( $\frac{1}{2}$，f( $\frac{1}{2}$))处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若 $f\left(x\right)$有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f\left(x\right)$所有零点的绝对值都不大于1．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2-t-t^2\\ y=2-3t+t^2\end{array}\right.$（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求 $\left|\mathit{AB}\right|$；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

设a，b，c $\in$R，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$．