2019年四川省凉山州中考数学试卷

$-2$ 的相反数是 $($ 　　 $)$

2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{BD}//\mathit{EF}$ ， $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $C$ ， $\angle B=30°$ ， $\angle A=75°$ ，则 $\angle E$ 的度数为 $($ 　　 $)$

下列各式正确的是 $($ 　　 $)$

不等式 $1-x⩾x-1$ 的解集是 $($ 　　 $)$

某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是 $($ 　　 $)$

下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是 $($ 　　 $)$

如图，正比例函数 $y=\mathit{kx}$ 与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象相交于 $A$ 、 $C$ 两点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $B$ ，连接 $\mathit{BC}$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积等于 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=4$ ， $\cos C=\frac{1}{4}$ ，则 $\sin B$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 在 $\mathit{AC}$ 边上， $\mathit{AD}:\mathit{DC}=1:2$ ， $O$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{AO}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于 $E$ ，则 $\mathit{BE}:\mathit{EC}=($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta AOC}$ 中， $\mathit{OA}=3\mathit{cm}$ ， $\mathit{OC}=1\mathit{cm}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90°$ 后得到 $\mathit{\Delta BOD}$ ，则 $\mathit{AC}$ 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 $($ 　　 $)c{m}^2$ ．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的部分图象如图所示，有以下结论：① $3a-b=0$ ；② $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；③ $5a-2b+c>0$ ；④ $4b+3c>0$ ，其中错误结论的个数是 $($ 　　 $)$

方程组$\left\{\begin{array}{c}x+y=10\\ 2x+y=16\end{array}\right.$的解是　　．

方程$\frac{2x-1}{x-1}+\frac{2}{1-x^2}=1$的解是　　．

如图所示，$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，弦$\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于$H$，$\angle A=30°$，$\mathit{CD}=2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径是　　．

在$▱\mathit{ABCD}$中，$E$是$\mathit{AD}$上一点，且点$E$将$\mathit{AD}$分为$2:3$的两部分，连接$\mathit{BE}$、$\mathit{AC}$相交于$F$，则$S_{\mathit{\Delta AEF}}:S_{\mathit{\Delta CBF}}$是　　．

将抛物线$y={(x-3)}^2-2$向左平移　　个单位后经过点$A(2,2)$．

计算：$\tan 45°+{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^0-{(-\frac{1}{2})}^{-2}+|\sqrt{3}-2|$．

先化简，再求值：${(a+3)}^2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)$，其中$a=-\frac{1}{2}$．

如图，正方形$\mathit{ABCD}$的对角线$\mathit{AC}$、$\mathit{BD}$相交于点$O$，$E$是$\mathit{OC}$上一点，连接$\mathit{EB}$．过点$A$作$\mathit{AM}\perp \mathit{BE}$，垂足为$M$，$\mathit{AM}$与$\mathit{BD}$相交于点$F$．求证：$\mathit{OE}=\mathit{OF}$．

某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　　人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若获得一等奖的同学中有$\frac{1}{4}$来自七年级，$\frac{1}{2}$来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

如图，点$D$是以$\mathit{AB}$为直径的$\odot O$上一点，过点$B$作$\odot O$的切线，交$\mathit{AD}$的延长线于点$C$，$E$是$\mathit{BC}$的中点，连接$\mathit{DE}$并延长与$\mathit{AB}$的延长线交于点$F$．

（1）求证：$\mathit{DF}$是$\odot O$的切线；

（2）若$\mathit{OB}=\mathit{BF}$，$\mathit{EF}=4$，求$\mathit{AD}$的长．

当$0⩽x⩽3$时，直线$y=a$与抛物线$y={(x-1)}^2-3$有交点，则$a$的取值范围是　　．

如图，正方形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=12$，$\mathit{AE}=\frac{1}{4}\mathit{AB}$，点$P$在$\mathit{BC}$上运动（不与$B$、$C$重合），过点$P$作$\mathit{PQ}\perp \mathit{EP}$，交$\mathit{CD}$于点$Q$，则$\mathit{CQ}$的最大值为　　．

已知二次函数$y=x^2+x+a$的图象与$x$轴交于$A(x_1$，$0)$、$B(x_2$，$0)$两点，且$\frac{1}{x_1{}^2}+\frac{1}{x_2{}^2}=1$，求$a$的值．

根据有理数乘法（除法）法则可知：

①若$\mathit{ab}>0$（或$\frac{a}{b}>0)$，则$\left\{\begin{array}{c}a>0\\ b>0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{c}a<0\\ b<0\end{array}\right.$；

②若$\mathit{ab}<0$（或$\frac{a}{b}<0)$，则$\left\{\begin{array}{c}a>0\\ b<0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{c}a<0\\ b>0\end{array}\right.$．

根据上述知识，求不等式$(x-2)(x+3)>0$的解集

解：原不等式可化为：（1）$\left\{\begin{array}{c}x-2>0\\ x+3>0\end{array}\right.$或（2）$\left\{\begin{array}{c}x-2<0\\ x+3<0\end{array}\right.$．

由（1）得，$x>2$，

由（2）得，$x<-3$，

$\therefore$原不等式的解集为：$x<-3$或$x>2$．

请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：

（1）不等式$x^2-2x-3<0$的解集为　$-1<x<3$　．

（2）求不等式$\frac{x+4}{1-x}<0$的解集（要求写出解答过程）

如图，$\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BCD}=90°$，$\mathit{DB}$平分$\angle \mathit{ADC}$，过点$B$作$\mathit{BM}//\mathit{CD}$交$\mathit{AD}$于$M$．连接$\mathit{CM}$交$\mathit{DB}$于$N$．

（1）求证：$B{D}^2=\mathit{AD}·\mathit{CD}$；

（2）若$\mathit{CD}=6$，$\mathit{AD}=8$，求$\mathit{MN}$的长．

如图，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$，使得$\mathit{\Delta PAC}$的周长最小，若存在，请求出点$P$的坐标及$\mathit{\Delta PAC}$的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在$x$轴上方的抛物线上是否存在点$M$（不与$C$点重合），使得$S_{\mathit{\Delta PAM}}=S_{\mathit{\Delta PAC}}$？若存在，请求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由．