2019年四川省自贡市中考数学试卷

$-2019$ 的倒数是 $($ 　　 $)$

近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为 $($ 　　 $)$

下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

在5轮"中国汉字听写大赛"选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是 $($ 　　 $)$

已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 $($ 　　 $)$

实数 $m$ ， $n$ 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+m=0$ 无实数根，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

一次函数 $y=\mathit{ax}+b$ 与反比例函数 $y=\frac{c}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的大致图象是 $($ 　　 $)$

均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的 $($ 　　 $)$

图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 $($ 　　 $)$

如图，已知 $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(8,0)$ 、 $(0,8)$ ，点 $C$ 、 $F$ 分别是直线 $x=-5$ 和 $x$ 轴上的动点， $\mathit{CF}=10$ ，点 $D$ 是线段 $\mathit{CF}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，当 $\mathit{\Delta ABE}$ 面积取得最小值时， $\tan \angle \mathit{BAD}$ 的值是 $($ 　　 $)$

如图，直线$\mathit{AB}$、$\mathit{CD}$被直线$\mathit{EF}$所截，$\mathit{AB}//\mathit{CD}$，$\angle 1=120°$，则$\angle 2=$　　．

在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　　分．

分解因式：$2x^2-2y^2=$　　．

某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为$x$元，足球的单价为$y$元，依题意，可列方程组为　　．

如图，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\angle \mathit{ACB}=90°$，$\mathit{AB}=10$，$\mathit{BC}=6$，$\mathit{CD}//\mathit{AB}$，$\angle \mathit{ABC}$的平分线$\mathit{BD}$交$\mathit{AC}$于点$E$，$\mathit{DE}=$　　．

如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，$\angle \alpha$、$\angle \beta$如图所示，则$\cos (\alpha +\beta )=$　　．

计算：$|-3|-4\sin 45°+\sqrt{8}+{(\pi -3)}^0$

解方程：$\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x}=1$．

如图，$\odot O$中，弦$\mathit{AB}$与$\mathit{CD}$相交于点$E$，$\mathit{AB}=\mathit{CD}$，连接$\mathit{AD}$、$\mathit{BC}$．

求证：（1）$\widehat{\mathit{AD}}=\widehat{\mathit{BC}}$；

（2）$\mathit{AE}=\mathit{CE}$．

某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．

收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）$:$

90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97

88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82

整理分析数据：

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；

（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；

（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y_1=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象相交于第一、象限内的$A(3,5)$，$B(a,-3)$两点，与$x$轴交于点$C$．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在$y$轴上找一点$P$使$\mathit{PB}-\mathit{PC}$最大，求$\mathit{PB}-\mathit{PC}$的最大值及点$P$的坐标；

（3）直接写出当$y_1>y_2$时，$x$的取值范围．

阅读下列材料：小明为了计算$1+2+2^2+\dots +2^{2017}+2^{2018}$的值，采用以下方法：

设$S=1+2+2^2+\dots +2^{2017}+2^{2018}$①

则$2S=2+2^2+\dots +2^{2018}+2^{2019}$②

②$-$①得$2S-S=S=2^{2019}-1$

$\therefore S=1+2+2^2+\dots +2^{2017}+2^{2018}=2^{2019}-1$

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）$1+2+2^2+\dots +2^9=$　$2^{10}-1$　；

（2）$3+3^2+\dots +3^{10}=$　　；

（3）求$1+a+a^2+\dots +a^n$的和$(a>0$，$n$是正整数，请写出计算过程）．

（1）如图1，$E$是正方形$\mathit{ABCD}$边$\mathit{AB}$上的一点，连接$\mathit{BD}$、$\mathit{DE}$，将$\angle \mathit{BDE}$绕点$D$逆时针旋转$90°$，旋转后角的两边分别与射线$\mathit{BC}$交于点$F$和点$G$．

①线段$\mathit{DB}$和$\mathit{DG}$的数量关系是　　；

②写出线段$\mathit{BE}$，$\mathit{BF}$和$\mathit{DB}$之间的数量关系．

（2）当四边形$\mathit{ABCD}$为菱形，$\angle \mathit{ADC}=60°$，点$E$是菱形$\mathit{ABCD}$边$\mathit{AB}$所在直线上的一点，连接$\mathit{BD}$、$\mathit{DE}$，将$\angle \mathit{BDE}$绕点$D$逆时针旋转$120°$，旋转后角的两边分别与射线$\mathit{BC}$交于点$F$和点$G$．

①如图2，点$E$在线段$\mathit{AB}$上时，请探究线段$\mathit{BE}$、$\mathit{BF}$和$\mathit{BD}$之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点$E$在线段$\mathit{AB}$的延长线上时，$\mathit{DE}$交射线$\mathit{BC}$于点$M$，若$\mathit{BE}=1$，$\mathit{AB}=2$，直接写出线段$\mathit{GM}$的长度．

如图，已知直线$\mathit{AB}$与抛物线$C:y=a{x}^2+2x+c$相交于点$A(-1,0)$和点$B(2,3)$两点．

（1）求抛物线$C$函数表达式；

（2）若点$M$是位于直线$\mathit{AB}$上方抛物线上的一动点，以$\mathit{MA}$、$\mathit{MB}$为相邻的两边作平行四边形$\mathit{MANB}$，当平行四边形$\mathit{MANB}$的面积最大时，求此时平行四边形$\mathit{MANB}$的面积$S$及点$M$的坐标；

（3）在抛物线$C$的对称轴上是否存在定点$F$，使抛物线$C$上任意一点$P$到点$F$的距离等于到直线$y=\frac{17}{4}$的距离？若存在，求出定点$F$的坐标；若不存在，请说明理由．