2019年山东省日照市中考数学试卷

2的倒数是 $($ 　　 $)$

近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

在实数 $\sqrt[3]{8}$ ， $\frac{\pi }{3}$ ， $\sqrt{12}$ ， $\frac{4}{3}$ 中有理数有 $($ 　　 $)$

下列事件中，是必然事件的是 $($ 　　 $)$

如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是 $($ 　　 $)$

如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当 $\angle 1=35°$ 时， $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

把不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2-x⩽5\\ \frac{x+3}{2}<2\end{array}\right.$ 的解集在数轴上表示出来，正确的是 $($ 　　 $)$

如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶 $A$ 处看乙楼楼顶 $B$ 处仰角为 $30°$ ，则甲楼高度为 $($ 　　 $)$

在同一平面直角坐标系中，函数 $y=\mathit{kx}+1(k\ne 0)$ 和 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$ 的图象大致是 $($ 　　 $)$

某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是 $x$ ，那么可列出的方程是 $($ 　　 $)$

如图，是二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 图象的一部分，下列结论中：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $a-b+c<0$ ；③ $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$ 有两个相等的实数根；④ $-4a<b<-2a$ ．其中正确结论的序号为 $($ 　　 $)$

如图，在单位为1的方格纸上，△ $A_1{A}_2{A}_3$ ，△ $A_3{A}_4{A}_5$ ，△ $A_5{A}_6{A}_7$ ， $\dots$ ，都是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为2，4，6， $\dots$ 的等腰直角三角形，若△ $A_1{A}_2{A}_3$ 的顶点坐标分别为 $A_1(2,0)$ ， $A_2(1,1)$ ， $A_3(0,0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2019}$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

如图，已知$\mathit{AB}=8\mathit{cm}$，$\mathit{BD}=3\mathit{cm}$，$C$为$\mathit{AB}$的中点，则线段$\mathit{CD}$的长为　　$\mathit{cm}$．

规定：在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，如果点$P$的坐标为$(a,b)$，那么向量$\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以表示为：$\overrightarrow{\mathit{OP}}=(a,b)$，如果$\overrightarrow{\mathit{OA}}$与$\overrightarrow{\mathit{OB}}$互相垂直，$\overrightarrow{\mathit{OA}}=(x_1$，$y_1)$，$\overrightarrow{\mathit{OB}}=(x_2$，$y_2)$，那么$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$．若$\overrightarrow{\mathit{OM}}$与$\overrightarrow{\mathit{ON}}$互相垂直，$\overrightarrow{\mathit{OM}}=(\sin \alpha ,1)$，$\overrightarrow{\mathit{ON}}=(2,-\sqrt{3})$，则锐角$\angle \alpha =$　　．

如图，已知动点$A$在函数$y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象上，$\mathit{AB}\perp x$轴于点$B$，$\mathit{AC}\perp y$轴于点$C$，延长$\mathit{CA}$交以$A$为圆心$\mathit{AB}$长为半径的圆弧于点$E$，延长$\mathit{BA}$交以$A$为圆心$\mathit{AC}$长为半径的圆弧于点$F$，直线$\mathit{EF}$分别交$x$轴、$y$轴于点$M$、$N$，当$\mathit{NF}=4\mathit{EM}$时，图中阴影部分的面积等于　　．

1）计算：$|\sqrt{3}-2|+{\pi }^0+{(-1)}^{2019}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$；

（2）先化简，再求值：$1-\frac{a+3}{a^2-1}÷\frac{a+3}{a-1}$，其中$a=2$；

（3）解方程组：$\left\{\begin{array}{c}2x-y=5,\\ 3x+4y=2·\end{array}\right.$

2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？

如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，对角线$\mathit{AC}$的中点为$O$，点$G$，$H$在对角线$\mathit{AC}$上，$\mathit{AG}=\mathit{CH}$，直线$\mathit{GH}$绕点$O$逆时针旋转$\alpha$角，与边$\mathit{AB}$、$\mathit{CD}$分别相交于点$E$、$F$（点$E$不与点$A$、$B$重合）．

（1）求证：四边形$\mathit{EHFG}$是平行四边形；

（2）若$\angle \alpha =90°$，$\mathit{AB}=9$，$\mathit{AD}=3$，求$\mathit{AE}$的长．

探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线$\mathit{AB}$上的三点$A(1,3)$、$B(2,5)$、$C(4,9)$，有$k_{\mathit{AB}}=\frac{5-3}{2-1}=2$，$k_{\mathit{AC}}=\frac{9-3}{4-1}=2$，发现$k_{\mathit{AB}}=k_{\mathit{AC}}$，兴趣小组提出猜想：若直线$y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$上任意两点坐

标$P(x_1$，$y_1)$，$Q(x_2$，$y_2\left)\right(x_1\ne x_2)$，则$k_{\mathit{PQ}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，$k_{\mathit{PQ}}$是定值，并且是直线$y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$中的$k$，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过$S(-2,-2)$、$T(4,2)$两点的直线$\mathit{ST}$的斜率$k_{\mathit{ST}}=$　　．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线$\mathit{DE}$与直线$\mathit{DF}$垂直于点$D$，$D(2,2)$，$E(1,4)$，$F(4,3)$．请求出直线$\mathit{DE}$与直线$\mathit{DF}$的斜率之积．

综合应用

如图3，$\odot M$为以点$M$为圆心，$\mathit{MN}$的长为半径的圆，$M(1,2)$，$N(4,5)$，请结合探究活动二的结论，求出过点$N$的$\odot M$的切线的解析式．

如图1，在平面直角坐标系中，直线$y=-5x+5$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$C$两点，抛物线$y=x^2+\mathit{bx}+c$经过$A$，$C$两点，与$x$轴的另一交点为$B$．

（1）求抛物线解析式及$B$点坐标；

（2）若点$M$为$x$轴下方抛物线上一动点，连接$\mathit{MA}$、$\mathit{MB}$、$\mathit{BC}$，当点$M$运动到某一位置时，四边形$\mathit{AMBC}$面积最大，求此时点$M$的坐标及四边形$\mathit{AMBC}$的面积；

（3）如图2，若$P$点是半径为2的$\odot B$上一动点，连接$\mathit{PC}$、$\mathit{PA}$，当点$P$运动到某一位置时，$\mathit{PC}+\frac{1}{2}\mathit{PA}$的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．