2021年全国统一高考数学试卷（全国乙卷理科数学试卷）

设 $2\left(z+\bar{z}\right)+3\left(z-\bar{z}\right)=4+6i$ ，则 $z=$ （    ）

已知集合 $S=\left\{s\left|s=2n+1,n\in \mathit{Z}\right.\right\}$ ， $T=\left\{t\left|t=4n+1,n\in \mathit{Z}\right.\right\}$ ，则 $S\cap T=$ （    ）

已知命题 $p:\exists x\in \mathit{R},\mathit{sin}x<1$ ﹔命题 $q:\forall x\in \mathit{R}$ ﹐ $e^{\left|x\right|}\ge 1$ ，则下列命题中为真命题的是（    ）

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（    ）

在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， P为 $B_1{D}_1$ 的中点，则直线 $\mathit{PB}$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为（    ）

将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

把函数 $y=f\left(x\right)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\mathit{sin}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图像，则 $f\left(x\right)=$ （    ）

在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（    ）

魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H$ ， $G$ 在水平线 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{DE}$ 和 $\mathit{FG}$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"， $\mathit{EG}$ 称为"表距"， $\mathit{GC}$ 和 $\mathit{EH}$ 都称为"表目距"， $\mathit{GC}$ 与 $\mathit{EH}$ 的差称为"表目距的差"则海岛的高 $\mathit{AB}=$ （    ）

设 $a\ne 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f\left(x\right)=a{\left(x-a\right)}^2\left(x-b\right)$ 的极大值点，则（    ）

设 $B$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $\left|\mathit{PB}\right|\le 2b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（    ）

设 $a=2\mathit{ln}1.01$ ， $b=\mathit{ln}1.02$ ， $c=\sqrt{1.04}-1$ ．则（    ）

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$的一条渐近线为 $\sqrt{3}x+\mathit{my}=0$，则C的焦距为_________．

已知向量 $\vec{a}=\left(1,3\right),\vec{b}=\left(3,4\right)$，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\perp \vec{b}$，则 $\lambda =$__________．

记 $△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt{3}$， $B=60°$， $a^2+c^2=3\mathit{ac}$，则 $b=$________．

以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$， $M$为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）求 $\mathit{BC}$；

（2）求二面角 $A-\mathit{PM}-B$的正弦值．

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和， $b_n$为数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$．

（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列;

（2）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{ln}\left(a-x\right)$，已知 $x=0$是函数 $y=\mathit{xf}\left(x\right)$的极值点．

（1）求a；

（2）设函数 $g\left(x\right)=\frac{x+f\left(x\right)}{\mathit{xf}\left(x\right)}$．证明: $g\left(x\right)<1$．

已知抛物线 $C:x^2=2\mathit{py}\left(p>0\right)$的焦点为 $F$，且 $F$与圆 $M:x^2+(y+4{)}^2=1$上点的距离的最小值为 $4$．

（1）求 $p$；

（2）若点 $P$在 $M$上， $\mathit{PA},\mathit{PB}$是 $C$的两条切线， $A,B$是切点，求 $△\mathit{PAB}$面积的最大值．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．