2021年全国统一高考数学试卷（全国乙卷文科数学试卷）

已知全集 $U=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ，集合 $M=\left\{1,2\right\},N=\left\{3,4\right\}$ ，则 ${\complement }_U(M\cup N)=$ （    ）

设 $\mathit{iz}=4+3i$ ，则 $z=$ （    ）

已知命题 $p:\exists x\in \mathit{R},\mathit{sin}x<1$ ﹔命题 $q:\forall x\in \mathit{R}$ ﹐ $e^{\left|x\right|}\ge 1$ ，则下列命题中为真命题的是（    ）

函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}\frac{x}{3}+\mathit{cos}\frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（    ）

若 $x,y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\ge 4,\\ x-y\le 2,\\ y\le 3,\end{array}\right.$ 则 $z=3x+y$ 的最小值为（    ）

（    ）

在区间 $(0,\frac{1}{2})$ 随机取1个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（    ）

下列函数中最小值为4的是（    ）

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（    ）

在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， P为 $B_1{D}_1$ 的中点，则直线 $\mathit{PB}$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为（    ）

设 B是椭圆 $C:\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的上顶点，点 P在 C上，则 $\left|\mathit{PB}\right|$ 的最大值为（    ）

设 $a\ne 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f\left(x\right)=a{\left(x-a\right)}^2\left(x-b\right)$ 的极大值点，则（    ）

已知向量 $\vec{a}=\left(2,5\right),\vec{b}=\left(\lambda ,4\right)$，若 $\vec{a}\text{//}\vec{b}$，则 $\lambda =$_________．

双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点到直线 $x+2y-8=0$的距离为________．

记 $△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt{3}$， $B=60°$， $a^2+c^2=3\mathit{ac}$，则 $b=$________．

以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$，M为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）证明：平面 $\mathit{PAM}\perp$平面 $\mathit{PBD}$；

（2）若 $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$，求四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的体积．

设 $\left\{a_n\right\}$是首项为1的等比数列，数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $b_n=\frac{n{a}_n}{3}$．已知 $a_1$， $3a_2$， $9a_3$成等差数列．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $S_n$和 $T_n$分别为 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的前n项和．证明： $T_n<\frac{S_n}{2}$．

已知抛物线 $C:y^2=2\mathit{px}(p>0)$的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\overrightarrow{\mathit{PQ}}=9\overrightarrow{\mathit{QF}}$，求直线 $\mathit{OQ}$斜率的最大值.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-x^2+\mathit{ax}+1$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．