全国重点高中提前招生真题过关（六）

如图， 在 $△\mathit{AOB}$ 中， $\angle \mathit{AOB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AO}=4\mathrm{，}\mathit{BO}=8$，将 $△\mathit{AOB}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得到 $△A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$处，此时 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$与 $\mathit{BO}$的交点 $E$为 $\mathit{BO}$的中点，则线段 $B^{\text{'}}E$的长度为（ ）

在平面直角坐标系中，等边 $△\mathit{AOB}$如图放置，点 $A$的坐标为 $\left(1,0\right)$，每一次将 $△\mathit{AOB}$绕着点 $O$逆时针方向旋转 ${60}^{\circ }$，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 $△A_{1}O{B}_1$，第二次旋转后得到 $△A_{2}O{B}_2\cdots$依次类推，则点 $A_{2021}$的坐标为（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={120}^{\circ }$，将 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$逆时针旋转得到 $△\mathit{DEC}$，点 $A,B$的对应点分别为点 $D,E$，连接 $\mathit{AD}$.当点 $A,D,E$在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5,\mathit{BC}=5\sqrt{3}$，点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上运动（含 $B,C$两点），连接 $\mathit{AP}$，以点 $A$为中心，将线段 $\mathit{AP}$逆时针旋转 ${60}^{\circ }$到 $\mathit{AQ}$，连接 $\mathit{DQ}$，则线段 $\mathit{DQ}$的最小值为（ ）

如图，在 $Rt△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={31}^{\circ }$，将 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha$角 $\left(0^{\circ }<\alpha <\right.\left.{180}^{\circ }\right)$至 $△A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$，使得点 $A^{\text{'}}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上，则 $\alpha$等于（ ）

如图，在边长为 $\alpha$的正方形 $\mathit{ABCD}$中，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针㧍转 ${60}^{\circ }$，得到线段 $\mathit{BM}$，连接 $\mathit{AM}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{MC}$，则 $△\mathit{MNC}$的面积为（ ）

把一副三角板如图甲放置，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DEC}={90}^{\circ },\angle A={45}^{\circ },\angle D={30}^{\circ }$，斜边 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DC}=7$，把三角板 $\mathit{DCE}$绕着点 $C$顺时针旋转 ${15}^{\circ }$得到 $△D_{1}C{E}_1$（如图乙），此时 $\mathit{AB}$与 $C{D}_1$交于点 $O$，则线段 $A{D}_1$的长度为（ ）

如图， $△\mathit{ABC}$为直角三角形， $\angle B={30}^{\circ },\angle A={90}^{\circ },\mathit{AC}=1$，将 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$逆时针旋转 ${60}^{\circ }$至 $△C{B}_1{A}_1$，再将 $△C{B}_1{A}_1$沿边 $B_{1}C$翻折至 $△C{B}_1{A}_2$，则 $△\mathit{ABC}$与 $△C{B}_1{A}_2$重叠部分的面积为（ ）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$与正三角形 $\mathit{AEF}$的顶点 $A$重合，将 $△\mathit{AEF}$绕顶点 $A$旋转（可以在正方形的内部也可以在正方形的外部），在旋转过程中，当 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$时， $\angle \mathit{BAE}$的大小可以是＿＿＿＿＿.

如图， $\odot O$与 $△\mathit{OAB}$的边 $\mathit{AB}$相切，切点为 $B$.将 $△\mathit{OAB}$绕点 $B$按顺时针方向旋转得到 $△O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}B$，使点 $O^{\text{'}}$落在 $\odot O$上，边 $A^{\text{'}}B$交线段 $\mathit{AO}$于点 $C$.若 $\angle A^{\text{'}}={25}^{\circ }$，则 $\angle \mathit{OCB}=$＿＿＿＿＿.

如图，已知 $\mathit{AD}=1,\mathit{AB}=2,\mathit{DC}=\mathit{BC},\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{DCB}={60}^{\circ }$，则 $\mathit{AC}=$＿＿＿＿＿.

如图，已知 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$外一点，且 $\mathit{PA}=3,\mathit{PB}=4$，则 $\mathit{PC}$的最大值是＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $4\text{cm}$，正方形 $\mathit{AEFG}$的边长为 $1\text{cm}$.如果正方形 $\mathit{AEFG}$绕点 $A$旋转，那么 $C,F$两点之间的最小距离为＿＿＿＿＿ $\text{cm}$.

一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 $C$与 $F$重合，边 $\mathit{CA}$与边 $\mathit{FE}$叠合，顶点 $B,C,D$在一条直线上），将三角尺 $\mathit{DEF}$绕着点 $F$按顺时针方向旋转 $n^{\circ }$后 $(0<n<180)$，如果 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$，那么 $n$的值是＿＿＿＿＿.

如图，在 $Rt△\mathit{ABC}$中，将 $△\mathit{ABC}$绕顶点 $C$逆时针旋转得到 $△A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C,M$是 $\mathit{BC}$的中点， $P$是 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$的中点.连接 $\mathit{PM}$.若 $\mathit{BC}=2,\angle \mathit{BAC}={30}^{\circ }$，则线段 $\mathit{PM}$的最大值是＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$和正方形 $\mathit{CEFG}$的边长分别为 $a$和 $b$，正方形 $\mathit{CEFG}$绕点 $C$旋转，给出下列结论:① $\mathit{BE}=\mathit{DG};$② $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$；③ $D{E}^2+B{G}^2=2a^2+2b^2$.其中正确的结论是＿＿＿＿＿（填序号）.

如图， 在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$， 点 $M$ 在 $\mathit{CD}$ 边上， 且 $DM=1\mathrm{}$， $△AEM$与 $△\mathit{ADM}$关于 $\mathit{AM}$所在直线对称，将 $△\mathit{ADM}$按顺时针方向绕点 $A$旋转 ${90}^{\circ }$得到 $△\mathit{ABF}$，连接 $\mathit{EF}$，求线段 $\mathit{EF}$的长.

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E,F$分别是边 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上的点， $\angle \mathit{EAF}={45}^{\circ },△\mathit{ECF}$的周长为 $8$，求正方形 $\mathit{ABCD}$的面积.

如图， $P$为等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点， $\mathit{PA}=3,\mathit{PB}=4,\mathit{PC}=5$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{AC}=\mathit{BC}=2\sqrt{5}$，边长为2的正方形 $\mathit{DEFC}$的对角线交点与点 $C$重合，连接 $\mathit{AD},\mathit{BE}$.

（1）求证: $△\mathit{ACD}\cong △\mathit{BCE}$；

（2）当点 $D$在 $△\mathit{ABC}$内部，且 $\angle \mathit{ADC}={90}^{\circ }$吋，设 $\mathit{AC}$与 $\mathit{DG}$相交于点 $M$，求 $\mathit{AM}$的长；

（3）将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $C$旋转一周，当点 $A,D,E$三点在同一直线上时，请直接写出 $\mathit{AD}$的长.

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=\mathit{BC}$， 四边形 $\mathit{CDEF}$ 是正方形，连接 $\mathit{AE},G$是 $\mathit{AE}$的中点.

（1）如图①，当 $B,C,D$在一条直线上时，试判断 $\mathit{BG}$与 $\mathit{GD}$的位置关系，并求 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{GD}}$的值；

（2）如图②，当 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$旋转后，（1）中结论是否仍然成立?试说明理由.

如图所示，在 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC},\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },D,E$是边 $\mathit{AB}$上的两点， $\mathit{AD}=3,\mathit{BE}=4,\angle \mathit{DCE}={45}^{\circ }$.则 $△\mathit{ABC}$的面积是多少?

如图， 已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $1\mathrm{，}P\mathrm{，}Q$ 是其内两点， 且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{PCQ}={45}^{\circ }$.求 $S_{△\mathit{PAB}}+S_{△\mathit{PCQ}}+S_{△\mathit{QAD}}$的值.