2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

设向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\left(4\cos \alpha ,\sin \alpha \right),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left(\sin \beta ,4\cos \beta \right),\stackrel{\rightharpoonup }{c}\left(\cos \beta ,-4\sin \beta \right)$
（1）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}-2\stackrel{\rightharpoonup }{c}$垂直，求 $\tan \left(\alpha +\beta \right)$的值；

（2）求 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}+\stackrel{\rightharpoonup }{c}\right|$的最大值;
（3）若 $\tan \alpha tan\beta =16$，求证： $\stackrel{\rightharpoonup }{a}//\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $E,F$分别是 $A_{1}B,A_{1}C$的中点，点 $D$在 $B_1{C}_1$上， $A_{1}D\perp B_{1}C$.
求证：（1） $EF//$平面 $ABC$；
（2）平面 $A_{1}FD\perp$平面 $B{B}_1{C}_{1}C$.

设 $\left\{a_n\right\}$是公差不为零的等差数列， $S_n$为其前 $n$项和，满足 ${a_2}^2+{a_3}^2={a_4}^2+{a_5}^2,S_7=7$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式及前 $n$项和 $S_n$；

（2）试求所有的正整数 $m$，使得 $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}$为数列 $\left\{a_n\right\}$中的项.

在平面直角坐标系 $xOy$中,已知圆 $C_1:{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$和圆 $C_2:{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=4$.
（1）若直线 $l$过点 $A\left(4,0\right)$,且被圆 $C_1$截得的弦长为 $2\sqrt{3}$,求直线 $l$的方程；

（2）设 $P$为平面上的点,满足:存在过点 $P$的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$和 $l_2$,它们分别与圆 $C_1$和圆 $C_2$相交,且直线 $l_1$被圆 $C_1$截得的弦长与直线 $l_2$被圆 $C_2$截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$元，如果他卖出该产品的单价为 $m$元，则他的满意度为 $\frac{m}{m+a}$；如果他买进该产品的单价为 $n$元，则他的满意度为 $\frac{n}{n+a}$.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 $h_1$和 $h_2$，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_1{h}_2}$.
现假设甲生产 $A$、 $B$两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产 $A$、 $B$两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品 $A$、 $B$的单价分别为 $m_A$元和 $m_B$元，甲买进 $A$与卖出B的综合满意度为 $h_{甲}$，乙卖出 $A$与买进 $B$的综合满意度为 $h_{乙}$

(1)求 $h_{甲}$和 $h_{乙}$关于 $m_A$、 $m_B$的表达式；当 $m_A=\frac{3}{5}{m}_B$时，求证： $h_{乙}$= $h_{甲}$；
(2)设 $m_A=\frac{3}{5}{m}_B$，当 $m_A$、 $m_{B_{}}$分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 $h_0$，试问能否适当选取 $m_A$、 $m_B$的值，使得 $h_{甲}=h_{乙}$和 $h_{乙}\ge h_0$同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

设 $a$为实数，函数 $f\left(x\right)=2x^2+(x-a)\left|x-a\right|$.

(1)若 $f\left(0\right)\le 1$，求 $a$的取值范围；

(2)求 $f\left(x\right)$的最小值；

(3)设函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right),x\in (a,+\infty )$，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 $h\left(x\right)\ge 1$的解集．

若复数 $z_1=4+29i,z_2=6+9i$,其中 $i$是虚数单位，则复数 ${\left(z_1-z_2\right)}^i$的实部为（  ）。

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$和向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的夹角为 $30°$， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=2\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=\sqrt{3}$，则向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$和向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的数量积 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}$=    .

函数 $f\left(x\right)=x^3-15x^2-33x+6$的单调减区间为    .

函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$（ $A,\omega ,\phi$为常数， $A>0,\omega >0$）在闭区间 $\left[-\pi ,0\right]$上的图象如图所示，则 $\omega =$.

现有5根竹竿，它们的长度（单位： $m$）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 $m$的概率为.

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个为 $s^2=$.

如图是一个算法的流程图，最后输出的 $W=$  .

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为   

在平面直角坐标系 $xOy$中,点 $P$在曲线 $C:y=x^3-10x+3$上,且在第二象限内,已知曲线 $C$在点 $P$处的切线的斜率为2,则点 $P$的坐标为.

已知 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，函数 $f\left(x\right)=a^x$，若实数 $m$、 $n$满足 $f\left(m\right)>f\left(n\right)$，则 $m$、 $n$的大小关系为.

已知集合 $A=\left\{x\right|{\log }_{2}x\le 2\},B=(-\infty ,a)$，若 $A\subseteq B$则实数 $a$的取值范围是 $(c,+\infty )$，其中 $c$=   .

设 $\alpha$和 $\beta$为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 $\alpha$内的两条相交直线分别平行于 $\beta$内的两条直线，则 $\alpha$平行于 $\beta$；
（2）若 $\alpha$外一条直线 $l$与 $\alpha$内的一条直线平行，则 $l$和 $\alpha$平行；
（3）设 $\alpha$和 $\beta$相交于直线 $l$，若 $\alpha$内有一条直线垂直于 $l$，则 $\alpha$和 $\beta$垂直；
（4）直线 $l$与 $\alpha$垂直的充分必要条件是 $l$与 $\alpha$内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号     .（写出所有真命题的序号）

如图，在平面直角坐标系 $xoy$中， $A_1,A_2,B_1,B_2$为椭圆 $\frac{x^{{}_2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的四个顶点， $F$为其右焦点，直线 $A_1{B}_2$与直线 $B_{1}F$相交于点T，线段 $OT$与椭圆的交点 $M$恰为线段 $OT$的中点，则该椭圆的离心率为.

设 $\left\{a_n\right\}$是公比为 $q$的等比数列， $\left|q<1\right|$，令 $b_n=a_n+1\left(n=1,2\dots \dots \right)$，若数列 $\left\{b_n\right\}$有连续四项在集合 $\left\{-53,-23,19,37,82\right\}$中，则 $6q$=    .

在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $C$的顶点在原点，经过点 $A(2,2)$，其焦点 $F$在 $x$轴上.

（1）求抛物线 $C$的标准方程；
（2）求过点 $F$，且与直线 $OA$垂直的直线的方程；
（3）设过点 $M(m,0)(m>0)$的直线交抛物线 $C$于 $D$、 $E$两点， $ME=2DM$，记 $D$和 $E$两点间的距离为 $f\left(m\right)$，求 $f\left(m\right)$关于 $m$的表达式.

A．选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形 $ABCD$中， $△ABC~△BAD$.

求证： $AB//CD$.
B．选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$的逆矩阵.
C．选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C$的参数方程为 $\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\\ y=3(t+\frac{1}{t})\end{array}$（ $t$为参数， $t>0$），求曲线 $C$的普通方程.
D．选修4 - 5：不等式选讲
设 $a\ge b>0$，求证： $3a^3+2b^3\ge 3a^{2}b+2a{b}^2$.

对于正整数 $n⩾2$，用 $T_n$表示关于 $x$的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$有实数根的有序数组 $(a,b)$的组数，其中 $a,b\in \{1,2,\dots ,n\}$（ $a$和 $b$可以相等）；对于随机选取的 $a,b\in \{1,2,\dots ,n\}$（ $a$和 $b$可以相等），记 $P_n$为关于 $x$的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$有实数根的概率.
（1）求 $T_{n^2}$和 $P_{n^2}$；
（2）求证：对任意正整数 $n⩾2$，有 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$。