2008年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

$i$是虚数单位， $\frac{i^3\left(i+1\right)}{i-1}=$（）

设变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y\ge 0\\ x+y\le 1\\ x+2y\ge 1\end{array}\right.$,则目标函数 $z=5x+y$的最大值为（）

设函数 $f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right),x\in R$，则 $f\left(x\right)$（）

设 $a,b$是两条直线， $\alpha ,\beta$是两个平面，则 $a\perp b$的一个充分条件是（）

设椭圆 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{m^2-1}=1(m>1)$上一点 $P$到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则 $P$点到右准线的距离为

设集合 $S=\left\{x\right|\left|x-2\right|>3\},T=\{x|a<x<a+8\},S\cup T=R$，则 $a$的取值范围是

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0⩽x<1)$的反函数为 $f^{-1}\left(x\right)$，则

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x+1 x<0\\ x-1 x\ge 0\end{array}\right.$，则不等式 $x+\left(x+1\right)f\left(x+1\right)\le 1$的解集是（）

已知函数 $f\left(x\right)$是 $R$上的偶函数，且在区间 $\left(0,+\infty \right)$上是增函数.令 $a=f\left(\sin \frac{2\mathrm{\pi }}{7}\right),b=f\left(\cos \frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right),c=f\left(\tan \frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)$，则（）

有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）

${\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^5$的二项展开式中, $x^2$的系数是(用数字作答).

一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4\sqrt{3}\mathrm{\pi }$，则该正方体的表面积为.

已知圆 $C$的圆心与抛物线 $y^2=4x$的焦点关于直线 $y=x$对称,直线 $4x-3y-2=0$与圆 $C$相交于 $A,B$两点,且 $\left|AB\right|=6$,则圆 $C$的方程为.

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， _{$\overline{AC}=(1,2),\overline{BD}=(-3,2)$} ，则 _{$\overline{AD}·\overline{AC}=$}

已知数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1,a_{n-1}-a_n=\frac{1}{3^{n+1}}(n\in N^{*})$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=$.

设 $a>1$，若仅有一个常数 $c$使得对于任意的 $x\in [a,2a]$，都有 $y\in [a,a^2]$满足方程 ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=c$，这时， $a$的取值的集合为.

已知 $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10},x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$.
（Ⅰ）求 $\sin x$的值；
（Ⅱ）求 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$的值.

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$与 $p$，且乙投球2次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$.
（Ⅰ）求乙投球的命中率 $p$；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 $\xi$，求 $\xi$的分布列和数学期望.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中，底面 $ABCD$是矩形.已知 $AB=3,AD=2,PA=2,PD=2\sqrt{2},\angle PAB={60}^{°}$.

（Ⅰ）证明 $AD\perp$平面 $PAB$；
（Ⅱ）求异面直线 $PC$与 $AD$所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 $P-BD-A$的大小.

已知函数 $f\left(x\right)=x+\frac{a}{x}+b\left(x\ne 0\right)$，其中 $a,b\in R$.
（Ⅰ）若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P\left(2,f\left(2\right)\right)$处的切线方程为 $y=3x+1$，求函数 $f\left(x\right)$的解析式；
（Ⅱ）讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的 $a\in \left[\frac{1}{2},2\right]$，不等式 $f\left(x\right)\le 10$在 $\left[\frac{1}{4},1\right]$上恒成立，求 $b$的取值范围.

已知中心在原点的双曲线 $C$的一个焦点是 $F_1\left(-3,0\right)$,一条渐近线的方程是 $\sqrt{5}x-2y=0$.
(Ⅰ)求双曲线 $C$的方程；
(Ⅱ)若以 $k\left(k\ne 0\right)$为斜率的直线 $l$与双曲线 $C$相交于两个不同的点 $M,N$,线段 $MN$的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$,求 $k$的取值范围.

在数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$中， $a_1=1,b_1=4$，数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $n{S}_{n+1}-（n+3)S_n=0,2a_{n+1}$为 $b_n$与 $b_{n+1}$的等比中项， $n\in N^{*}$.
（Ⅰ）求 $a_2,b_2$的值；
（Ⅱ）求数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅲ）设 $T_n=(-1{)}^{a_1}{b}_1+(-1{)}^{a_2}{b}_2+...+(-1{)}^{a_n}{b}_n,n\in N^{*}$.证明 $\left|T_n\right|<2n^2,n\ge 3$.