2010年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+i}{1-i}$ =(  )

设变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\le 3,\\ x-y\ge -1,\\ y\ge 1,\end{array}\right.$则目标函数 $z=4x+2y$的最大值为（）

阅读下图的程序框图，运行相应的程序，则输出 $s$ 的值为（  ）

函数 $f\left(x\right)=e^x+x-2$的零点所在的一个区间是（）

下列命题中，真命题是（）

设 $a={\log }_{5}4$, $b=({\log }_{5}3{)}^2$, $c={\log }_{4}5$，则（）

设集合 $A=\left\{\overline{)x}\left|x-a\right|<1,x\in R\right\},B=\left\{\overline{)X}1<X<5,X\in R\right\},若A\cap B=\varnothing ,$则实数a的取值范围是（）

如图是函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )(x\in R)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{5},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将 $y=\sin x(x\in R)$ 的图象上所有的点（  ）

如图，在 $△ABC$ 中， $AD\perp AB$ ,  $\stackrel{\to }{BC}=\sqrt{3}\stackrel{\to }{BD}$ ， $\left|\stackrel{\to }{AD}\right|=1$ ，则 $\stackrel{\to }{AC}·\stackrel{\to }{AD}=$ （  ）

设函数 $g\left(x\right)=x^2-2\left(x\in R\right)$， $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)+x+4,x<g\left(x\right)\\ g\left(x\right)-x,x\ge g\left(x\right)\end{array}\right.$则 $f\left(x\right)$的值域是（）

如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$ 。若 $PB=1$ ， $PD=3$ ，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为   .

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为   .

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3}x$，它的一个焦点与抛物线 $y^2=16x$的焦点相同。则双曲线的方程为.

已知圆 $C$的圆心是直线 $x-y+1=0$与 $x$轴的交点，且圆 $C$与直线 $x+y+3=0$相切,则圆 $C$的方程为.

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列,公比 $q=\sqrt{2}$, $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和.记 $T_n=\frac{17S_n-S_{2n}}{a_{n-1}},n\in N^{*}$.设 $T_{n_0}$为数列 $\left\{T_n\right\}$的最大项,则 $n_0=$   .

设函数 $f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}$,对任意 $x\in [1,+\infty ),f\left(mx\right)+mf\left(x\right)<0$恒成立，则实数 $m$的取值范围是.

在 $△ABC$中， $\frac{AC}{AB}=\frac{\cos B}{\cos C}$.
（Ⅰ）证明 $B=C$：
（Ⅱ）若 $\cos A$=- $\frac{1}{3}$，求 $\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)$的值。

有编号为 $A_1$ , $A_2$ ,… $A_{10}$ 的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：

其中直径在区间 $[1.48,1.52]$ 内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。

如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ADEF$ 是正方形， $FA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $BC\parallel AD$ ， $CD=1$ ， $AD=2\sqrt{2}$ ， $\angle BAD=\angle CDA=45°$ .

（Ⅰ）求异面直线 $CE$ 与 $AF$ 所成角的余弦值；     
（Ⅱ）证明 $CD\perp$ 平面 $ABF$ ；
（Ⅲ）求二面角 $B-EF-A$ 的正切值。

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+1\left(x\in R\right)$，其中 $a>0$

（Ⅰ）若 $a=1$，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(2,f\left(2\right)\right)$处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$上， $f\left(x\right)>0$恒成立，求 $a$的取值范围.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$与椭圆相交于不同的两点 $A$、 $B$，已知点 $A$的坐标为 $\left(-a,0\right)$.
（i）若 $\left|AB\right|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求直线 $l$的倾斜角；
（ii）若点 $Q\left(0,y_0\right)$在线段 $AB$的垂直平分线上，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{QA}=\stackrel{\rightharpoonup }{QB}=4$.求 $y_0$的值.

在数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=0$,且对任意 $k\in N^{*},a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$成等差数列，其公差为 $2k$.
（Ⅰ）证明 $a_4,a_5,a_6$成等比数列；
（Ⅱ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅲ）记 $T_n=\frac{2^2}{a_2}+\frac{3^2}{a_3}+\cdots +\frac{n^2}{a_n}$，证明 $\frac{3}{2}<2n-T_n\le 2\left(n\ge 2\right)$.