2013年全国统一高考文科数学试卷（北京卷）

已知集合 $A=\left\{-1,0,1\right\}$， $B=\left\{\overline{)x}-1\le x<1\right\}$，则 $A\cap B=$（）

设 $a,b,c\in R$，且 $a>b$，则（  ）

下列函数中，既是偶函数又在区间 $\left(0,+\infty \right)$上单调递减的是（）

在复平面内，复数 $i(2-i)$对应的点位于（  ）

在 $△ABC$中， $a=3,b=5,\sin A=\frac{1}{3}$，则 $\sin B=$（  ）

执行如图所示的程序框图，输出的 $S$值为（  ）

双曲线 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$的离心率大于 $\sqrt{2}$的充分必要条件是（）

如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $P$为对角线 $B{D}_1$的三等分点， $P$到各顶点的距离的不同取值有（  ）

若抛物线 $y^2=2px$的焦点坐标为 $(1,0)$，则 $p=$；准线方程为.

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为.

若等比数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_2+a_4=20$， $a_3+a_5=40$，则公比 $q=$;前 $n$项 $S_n$ $=$.

设 $D$为不等式组 $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 2x-y\le 0\\ x+y-3\le 0\end{array}$表示的平面区域，区域 $D$上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.

函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}x,x\ge 1\\ 2^x,x<1\end{array}\right.$的值域为.

已知点 $A\left(1,-1\right)$， $B\left(3，0\right)$， $C\left(2，1\right)$，若平面区域 $D$由所有满足 $\underset{AP}{\to }=\lambda \underset{AB}{\to }+\mu \underset{AC}{\to }\left(\le 1\lambda \le 2，0\le \mu \le 1\right)$，的点 $P$组成，则的面积为.

已知函数 $f\left(x\right)=(2{\cos }^{2}x-1)\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 4x$
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若 $a\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，且 $f\left(a\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $a$的值.

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中， $AB//CD,AB\perp AD,CD=2AB$，平面 $PAD\perp$底面 $ABCD$， $PA\perp AD$. $E$和 $F$分别是 $CD$和 $PC$的中点，求证：

（Ⅰ） $PA\perp$底面 $ABCD$；
（Ⅱ） $BE//$平面 $PAD$；
（Ⅲ）平面 $BEF//$平面 $PCD$

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+x\sin x+\cos x$.
（Ⅰ）若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(a,f(a\left)\right)$处与直线 $y=b$相切，求 $a$与 $b$的值.
（Ⅱ）若曲线 $y=f\left(x\right)$与直线 $y=b$有两个不同的交点，求 $b$的取值范围.

直线 $y=kx+m\left(m\ne 0\right)$与椭圆 $W:\frac{x^2}{4}+y^2=1$相交于 $A,C$两点， $O$为坐标原点.
（Ⅰ）当点 $B$的坐标为 $\left(0,1\right)$，且四边形 $OABC$为菱形时，求 $AC$的长；
（Ⅱ）当点 $B$在 $W$上且不是 $W$的顶点时，证明：四边形 $OABC$不可能为菱形.

给定数列 $a_1,a_2,..,a_n$.对 $i=1,2,...,n-1$，该数列前 $i$项的最大值记为 $A_i$，后 $n-i$项 $a_{i+1},a_{i+2},...,a_n$的最小值记为 $B_i$， $d_i=A_i-B_i$.
（1）设数列 $\left\{a_n\right\}$为 $3,4,7,1$，写出 $d_1,d_2,d_3$的值；
（2）设 $a_1,a_2,..,a_n$ $(n\ge 4)$是公比大于1的等比数列，且 $a_1>0$.证明： $d_1,d_2,...,d_{n-1}$是等比数列.
（3）设 $d_1,d_2,...,d_{n-1}$是公差大于0的等差数列，且 $d_1>0$，证明： $a_1,a_2,...,a_{n-1}$是等差数列.