2013年全国统一高考理科数学试卷（湖南卷）

复数 $z=i(1+i)$( $i$为虚数单位)在复平面上对应的点位于（  ）

某学校有男 $、$女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）

在锐角中 $△ABC$，角 $A,B$所对的边长分别为 $a,b$.若 $2a\sin B=\sqrt{3}b$，则角 $A$等于（  ）

若变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}y\le 2x\\ x+y\le 1\\ y\ge -1\end{array}$，则 $x+2y$的最大值是

函数 $f\left(x\right)=2\ln x$的图像与函数 $g\left(x\right)=x^2-4x+5$的图像的交点个数为（  ）

已知 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$是单位向量， $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}=0$.若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$满足 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{c}-\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=1,则\left|\stackrel{\rightharpoonup }{c}\right|\mathrm{的取值范围是}$（）

已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）

A．

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

在等腰三角形 $ABC$中， $AB=AC=4$点 $P$是边 $AB$上异于 $A,B$的一点，光线从点 $P$出发，经 $BC,CA$发射后又回到原点 $P$（如图）.若光线 $QR$经过 $△ABC$的中心，则 $AP$等于（ ）

在平面直角坐标系 $xoy$中，若 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t-a\end{array}\right.\left(t\mathrm{为参数}\right)\mathrm{过椭圆}C:\left\{\begin{array}{l}x=3\cos \phi \\ y=2\sin \phi \end{array}\right.$ $\left(\phi \mathrm{为参数}\right)的$右顶点，则常数 $a\mathrm{的值为}$.

已知 $a,b,c\in R,a+2b+3c=6,\mathrm{则}{a}^2+4b^2+9c^2\mathrm{的最小值为}$

如图，在半径为 $\sqrt{7}$的 $\mathrm{圆}O$中,弦 $AB,CD$相交于点 $P$, $PA=PB=2，PD=1$,则圆心 $O$到弦 $CD$的距离为.

$若{\int }_0^T{x}^{2}dx=9$，则常数T的值为.

执行如图所示的程序框图，如果输入 $a=1,b=2$,则输入 $a$的值为.

设 $F_1,F_2$是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的两个焦点， $P$是 $C$上一点，若 $\left|P{F}_1\right|+\left|P{F}_2\right|=6a$且 $△P{F}_1{F}_2$的最小内角为 ${30}^{°}$，则 $C$的离心率为。

设 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和， $S_n={\left(-1\right)}^n{a}_n-\frac{1}{2^n},n\in N^{*}$则
（1） $a_3=$；
（2） $S_1+S_2+\cdots +S_{100}=$.

设函数 $f\left(x\right)=a^x+b^x-c^x$,其中 $c>a>0,c>b>0$.
（1）记集合 $M=\left\{(a,b,c)a,b,c\mathrm{不能构成一个三角形的三条边长}，且a=b\right\}$，则 $\left(a,b,c\right)\in M$所对应的 $f\left(x\right)$的零点的取值集合为.

（2）若 $a,b,c$是 $△ABC$的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）
① $\forall x\in (-\infty ,1)$, $f\left(x\right)>0$

②  $\exists x\in R$,使 $x{a}^x,b^x,c^x$不能构成一个三角形的三条边长；
③若 $△ABC$为钝角三角形，则 $\exists x\in \left(1,2\right)$,使 $f\left(x\right)=0$.

已知函数 $f\left(x\right)=\sin (x-\frac{\pi }{6})+\cos (x-\frac{\pi }{3}),g\left(x\right)=2{\sin }^2\frac{x}{2}$.
（I）若 $\alpha$是第一象限角，且 $f\left(\alpha \right)=\frac{3\sqrt{3}}{5}$.求 $g\left(\alpha \right)$的值；
（II）求使 $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$成立的 $x$的取值集合.

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 $Y$（单位： $kg$）与它的"相近"作物株数 $X$之间的关系如下表所示：

这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米.

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.

如图，在直棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1中，AD//BC$ $,\angle BAD={90}^{°},AC\perp BD,BC=1,AD=A{A}_1=3$.

（I）证明： $AC\perp B_{1}D$；
（II）求直线 $B_1{C}_1\mathrm{与平面}AC{D}_1$所成角的正弦值.

在平面直角坐标系 $xOy$中，将从点 $M$出发沿纵、横方向到达点 $N$的任一路径成为 $M$到 $N$的一条" $L$路径"。如图所示的路径 $M{M}_1{M}_2{M}_{3}N\mathrm{与路径}M{N}_{1}N$都是 $M$到 $N$的" $L$路径"。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $xOy$内三点 $A\left(3,20\right),B(-10,0),C\left(14,0\right)$处。现计划在 $x$轴上方区域（包含x轴）内的某一点 $P$处修建一个文化中心。

（I）写出点 $P$到居民区 $A$的" $L$路径"长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 $O$为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，" $L$路径"不能进入保护区，请确定点 $P$的位置，使其到三个居民区的" $L$路径"长度值和最小。

过抛物线 $E:x^2=2py\left(p>0\right)$的焦点 $F$作斜率分别为 $k_1,k_2$的两条不同的直线 $l_1,l_2$,且 $k_1+k_2=2$， $l_1$与 $E$相交于点 $A,B$, $l_2$与 $E$相交于点 $C,D$.以 $AB,CD$为直径的圆 $M$，圆 $N$（ $M,N$为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$.
（I）若 $k_1>0,k_2>0$,证明； $\stackrel{\rightharpoonup }{FM}·\stackrel{\rightharpoonup }{FN}<2p^2$；
（II）若点 $M$到直线 $l$的距离的最小值为 $\frac{7\sqrt{5}}{5}$,求抛物线 $E$的方程.

已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=\left|\frac{x-a}{x+2a}\right|$.
（I）记 $f\left(x\right)$在区间 $[0,4]$上的最大值为 $g\left(a\right)$,求 $g\left(a\right)$的表达式；
（II）是否存在 $a$，使函数 $y=f\left(x\right)$在区间 $(0,4)$内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，请说明理由.