2007年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）

$i$ 是虚数单位， $\frac{2i^3}{1-i}=$ (  )

设变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x-y\ge -1\\ x+y\ge 1\\ 3x-y<3\end{array}$则目标函数 $z=4x+y$的最大值为（　　）

" $\theta =\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$"是" $\tan \theta =2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\theta \right)$"的（）

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的离心率为 $\sqrt{3}$，且它的一条准线与抛物线 $y^2=4x$的准线重合，则此双曲线的方程为（）

函数 $y={\log }_2(\sqrt{x+4}+2)(x>0)$的反函数是（）

设 $a,b$为两条直线， $\alpha ,\beta$为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

在 $R$上定义的函数 $f\left(x\right)$是偶函数，且 $f\left(x\right)=f(2-x)$，若 $f\left(x\right)$在区间 $[1,2]$上是减函数，则 $f\left(x\right)$（）

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差 $d$不为0， $a_1=9d$．若 $a_k$是 $a_1$与 $a_{2k}$的等比中项，则 $k=$（）

设 $a,b,c$均为正数，且 $2^a={\log }_{\frac{1}{2}}a$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^b={\log }_{\frac{1}{2}}b$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^c={\log }_{2}c$,则（）

设两个向量 $a=(\lambda +2,{\lambda }^2-{\cos }^2\alpha )$和 $b=(m,\frac{m}{2}+\sin \alpha )$，其中 $\lambda ,m,\alpha$为实数．若 $a=2b$，中央电视台 $\frac{\lambda }{m}$的取值范围是（）

若 ${\left(x^2+\frac{1}{ax}\right)}^6$的二项展开式中 $x^3$的系数为 $\frac{5}{2}$，则 $a=$（用数字作答）．

一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差 $d$是2，前 $n$项的和为 $S_n$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{a_n}^2-n^2}{S_n}=$．

已知两圆 $x^2+y^2=10$和 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=20$相交于 $A,B$两点，则直线 $AB$的方程是．

如图，在 $△ABC$中， $\angle BAC={120}^{°},AB=2,AC=1$， $D$是边 $BC$上一点， $DC=2BD$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}·\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$=．

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有＿＿＿＿种（用数字作答）．

已知函数 $f\left(x\right)=2\cos x(\sin x-\cos x)+1,x\in R$．
（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$在区间 $[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}]$上的最小值和最大值．

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设 $\xi$为取出的4个球中红球的个数，求 $\xi$的分布列和数学期望．

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ， $AB\perp AD,AC\perp CD,\angle ABC={60}^{°},PA=AB=BC,E$ 是 $PC$ 的中点．
（Ⅰ）证明 $CD\perp AE$ ；
（Ⅱ）证明 $PD\perp$ 平面 $ABE$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A-PD-C$ 的大小．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{2ax-a^2+1}{x^2+1}\left(x\in \mathit{R}\right)$，其中 $a\in \mathit{R}$．
（Ⅰ）当 $a=1$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(2,f\left(2\right)\right)$处的切线方程；
（Ⅱ）当 $a\ne 0$时，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间与极值．

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=2,a_{n-1}=\lambda a_n+{\lambda }^{n+1}+\left(2-\lambda \right)2^n\left(n\in N^{+}\right)$，其中 $\lambda >0$．
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$；
（Ⅲ）证明存在 $k\in N^{+}$，使得 $\frac{a_{n-1}}{a_n}\le \frac{a_{k+1}}{a_k}$对任意 $n\in N^{+}$ $\left\{a_n\right\}$均成立．

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2,A$是椭圆上的一点， $A{F}_2\perp F_1{F}_2$，原点 $O$到直线 $A{F}_1$的距离为 $\frac{1}{3}\left|O{F}_1\right|$．
（Ⅰ）证明 $a=\sqrt{2}b$；
（Ⅱ）设 $Q_1,Q_2$为椭圆上的两个动点， $O{Q}_1\perp O{Q}_2$，过原点 $O$作直线 $Q_1{Q}_2$的垂线 $OD$，垂足为 $D$，求点 $D$的轨迹方程．