2007年全国统一高考理科数学试卷（辽宁卷）

设集合 $U=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ， $A=\left\{1,3\right\}$ ， $B=\left\{2,3,4\right\}$ ，则 $\left(C_{U}A\right)\cap \left(C_{U}B\right)$ =

若函数 $y=f\left(x\right)$的反函数图象过点 $\left(1,5\right)$，则函数 $y=f\left(x\right)$的图象必过点（）

若向量 $\mathit{a}$与 $\mathit{b}$不共线， $\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{b}\ne 0$，且 $\mathit{c}=\mathit{a}\mathbf{·}\left(\frac{\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{a}}{\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{b}}\right)\mathit{b}$，则向量 $\mathit{a}$与 $\mathit{c}$的夹角为（）

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $Sn$，若 $S_3=9$， $S_5=36$，则 $a_7+a_8+a_9=$（）

若 $\theta \in (\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi )$，则复数 $(\cos \theta +\sin \theta )+(\sin \theta -\cos \theta )i$在复平面内所对应的点在（  ）

若函数 $y=f\left(x\right)$的图象按向量 $a$平移后，得到函数 $y=f(x+1)-2$的图象，则向量 $a=$（）

若 $m,n$是两条不同的直线， $\alpha ,\beta ,\gamma$是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

已知变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-y+2\le 0,\\ x\ge 1,\\ x+y-7\le 0,\end{array}\\ \end{array}\right.$则 $\frac{y}{x}$的取值范围是（）

一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）

设 $p,q$是两个命题： $p:{\log }_{\frac{1}{2}}(\left|x\right|-3)>0,q:x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}>0$，则 $p$是 $q$的（  ）

设 $P$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{12}=1$上的一点， $F_1,F_2$是该双曲线的两个焦点，若 $\left|P{F}_1\right|:\left|P{F}_2\right|=3:2$，则 $△P{F}_1{F}_2$的面积为（）

已知 $f\left(x\right)$与 $g\left(x\right)$是定义在上的连续函数，如果 $f\left(x\right)$与 $g\left(x\right)$仅当 $x=0$时的函数值为0，且 $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$，那么下列情形不可能出现的是（）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a\cos x,\left(x\ge 0\right)\\ x^2-1,\left(x<0\right)\end{array}\right.$在点 $x=0$处连续，则 $a=$．

设椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上一点 $P$到左准线的距离为10， $F$是该椭圆的左焦点，若点 $M$满足 $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}=\frac{1}{2}\left(\stackrel{\rightharpoonup }{OP}+\stackrel{\rightharpoonup }{DF}\right)$，则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OM}\right|$ $=$．

若一个底面边长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，棱长为 $\sqrt{6}$的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．

将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 $i$个数为 $a_i=(i=1,2,...,6)$，若 $a_1\ne 1,a_5\ne 5,a_1<a_3<a_5$，则不同的排列方法有种（用数字作答）．

已知函数 $f\left(x\right)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{6})+\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2},x\in R$（其中 $\omega >0$）
（I）求函数 $f\left(x\right)$的值域；
（II）若对任意的 $a\in R$，函数 $y=f\left(x\right)$， $x\in (a,a+\pi ]$的图象与直线 $y=-1$有且仅有两个不同的交点，试确定 $\omega$的值（不必证明），并求函数 $y=f\left(x\right),x\in R$的单调增区间．

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\angle ACB=90°$ ， $AC=BC=a$ ， $D,E$ 分别为棱 $AB,BC$ 的中点， $M$ 为棱 $A{A}_1$ 上的点，二面角 $M-DE-A$ 为 $30°$ ．
（I）证明： $A_1{B}_1\perp C_{1}D$ ；
（II）求 $MA$ 的长，并求点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离．

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C=\frac{q^3}{3}-3q^2+20q+10\left(q>0\right)$ 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系式如下表所示：

设 $L_1,L_2,L_3$ 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 ${\xi }_k$ ，表示当产量为 $q$ ，而市场前景无法确定的利润．
(I)分别求利润 $L_1,L_2,L_3$ 与产量 $q$ 的函数关系式；
(II)当产量 $q$ 确定时，求期望 $E{\xi }_k$ ；
(III)试问产量 $q$ 取何值时， $E{\xi }_k$ 取得最大值．

已知正三角形 $OAB$的三个顶点都在抛物线 $y^2=2x$上，其中 $O$为坐标原点，设圆 $C$是 $OAB$的内接圆（点 $C$为圆心）
（I）求圆 $C$的方程；
（II）设圆 $M$的方程为 ${\left(x-4-7\cos \theta \right)}^2+{\left(y-7\cos \theta \right)}^2=1$，过圆 $M$上任意一点 $P$分别作圆 $C$的两条切线 $PE,PF$，切点为 $E,F$，求 $\stackrel{\rightharpoonup }{CE},\stackrel{\rightharpoonup }{CF}$的最大值和最小值．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$与函数 $f\left(x\right)$， $g\left(x\right)$， $x\in R$满足条件： $a_n=b_n$， $f\left(b_n\right)=g\left(b_{n+1}\right)$.( $n\in N^{*}$)

（I）若 $f\left(x\right)\ge tx+1,t\ne 0,t\ne 2,$ $g\left(x\right)=2x$， $f\left(b\right)\ne g\left(b\right)$， $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n$存在，求 $x$的取值范围；
（II）若函数 $y=f\left(x\right)$为 $R$上的增函数， $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$， $b=1$， $f\left(1\right)<1$，证明对任意 $n\in N^{*}$， $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n$（用 $t$表示）．

已知函数 $f\left(x\right)=x^{2t}-2t(x^2+x)+x^2+2t^2+1$， $g\left(x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right)$．
（I）证明：当 $t<2\sqrt{2}$时， $g\left(x\right)$在 $R$上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a,b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t>k$时， $g\left(x\right)$在闭区间 $[a,b]$上是减函数；
（III）证明： $f\left(x\right)\ge \frac{3}{2}$．