2011年全国统一高考数学试卷（上海春季试卷）

函数 $y=lg(x-2)$的定义域为

若集合 $A=\left\{\overline{)x}x\ge 1,\right\},B=\left\{\overline{)x}{x}^2\le 4\right\}$，则 $A\cap B$=.

在 $∆ABC$中， $\tan A=\frac{\sqrt{2}}{3}$，则 $\sin A$=

若行列式 $\left|\begin{array}{cc}{2}^x& 4\\ 1& 2\end{array}\right|=0$,则 $x=$.

若 $\sin x=\frac{1}{3},x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，则 $x=$.（结果用反三角函数表示）

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$的二项展开式的常数项为.

两条直线 $l_1:x-\sqrt{3}y+2=0$与 $l_2:x-y+2=0$的夹角的大小是.

若 $S_n$为等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项的和， $8a_2+a_5=0$，则 $\frac{S_6}{S_3}$=.

若椭圆 $C$的焦点和顶点分别是双曲线 $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$的顶点和焦点,则椭圆 $C$的方程是.

若点 $O$和点 $F$分别为椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$的中心和左焦点，点 $P$为椭圆上的任意一点，则 ${\left|OP\right|}^2+{\left|PF\right|}^2$的最小值为.

根据如图所示的程序框图，输出结果 $i=$.

2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么录取方法的种数为.

有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图）， $AB$与 $CD$所成的角的大小是.

为求方程 $x^5-1=0$的虚根，可以把原方程变形为 $\left(x-1\right)\left(x^2+ax+1\right)\left(x^2+bx+1\right)=0$，由此可得原方程的一个虚根为.

若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\left(2,0\right),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left(1,1\right)$，则谢列结论正确的是（）

$f\left(x\right)=\frac{4^x-1}{2^2}$的图像关于（   ）

直线 $l:y=k(x+\frac{1}{2})$与圆 $c:x^2+y^2=1$的位置关系是 （  ）

若 $\stackrel{\rightharpoonup }{a_1},\stackrel{\rightharpoonup }{a_2},\stackrel{\rightharpoonup }{a_3}$均为单位向量，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{a_1}=(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$是 $\stackrel{\rightharpoonup }{a_1}+\stackrel{\rightharpoonup }{a_2}+\stackrel{\rightharpoonup }{a_3}=(\sqrt{3},\sqrt{6})$的

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(\sin 2x-1,\cos x),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(1,2\cos x)$，设函数 $f\left(x\right)=\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}$，求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期及 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$时的最大值.

某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0．01）

已知抛物线 $F:y^2=4x$

（1） $△ABC$的三个顶点在抛物线 $F$上，记 $△ABC$的三边 $AB$、 $BC$、 $CA$所在的直线的斜率分别为 $k_{AB}$, $k_{BC}$, $k_{CA}$若A的坐标在原点，求 $k_{AB}-k_{BC}+k_{CA}$的值；
（2）请你给出一个以 $P(2,1)$为顶点、其余各顶点均为抛物线 $F$上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由

定义域为 $R$，且对任意实数 $x_1,x_2$都满足不等式 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$的所有函数 $f\left(x\right)$组成的集合记为 $M$，例如，函数 $f\left(x\right)=kx+b\in M$.
（1）已知函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x,x\ge 0\\ \frac{1}{2}x,x<0\end{array}$，证明： $f\left(x\right)\in M$；
（2）写出一个函数 $f\left(x\right)$，使得 $f\left(x\right)\notin M$，并说明理由；
（3）写出一个函数 $f\left(x\right)\in M$，使得数列极限 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{f\left(n\right)}{n^2}=1,\underset{n\to \infty }{lim}\frac{f(-n)}{-n}=1$.

对于给定首项 $x_0>\sqrt[3]{a}(a>0)$，由递推公式 $x_{n-1}=\frac{1}{2}(x_n+\sqrt{\frac{a}{x_n}})(n\in N)$得到数列 $\left\{x_n\right\}$，对于任意的 $n\in N$，都有 $x_8>\sqrt[3]{a}$，用数列 $\left\{x_n\right\}$可以计算 $\sqrt[3]{a}$.

（1）取 $x_0=5,a=100$，计算 $x_1,x_2,x_3$的值（精确到0．01）；归纳出 $x_n,x_{n+1}$的大小关系；
（2）当 $n\ge 1$时，证明： $x_n-x_{n+1}<\frac{1}{2}(x_{n-1}-x_n)$.

（3）当 $x_0\in [5,10]$时，用数列 $\left\{x_n\right\}$计算 $\sqrt[3]{100}$的近似值，要求 $\left|x_n-x_{n+1}\right|<{10}^{-4}$，请你估计 $n$，并说明理由