2011年全国统一高考理科数学试卷（辽宁卷）

$a$为正实数， $i$为虚数单位， $\left|\frac{a+i}{i}\right|=2$，则 $a=$（  ）

已知 $M,N$为集合1的非空真子集，且 $M,N$不相等，若 $N\cap \left(C_{1}M\right)=\varnothing$，则 $M\cup N=$(   )

已知 $F$是抛物线 $y^2=x$的焦点， $A,B$是该抛物线上的两点， $\left|AF\right|+\left|BF\right|=3$，则线段 $AB$的中点到 $y$轴的距离为（  ）

$△ABC$的三个内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$， $a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$则 $\frac{b}{a}=$（   ）

从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件 $A$="取到的2个数之和为偶数"，事件 $B$"取到的个数均为偶数"，则 $P\left(\raisebox{1ex}{$B$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$A$}\right.\right)$=（）

执行如图的程序框图，如果输入的 $n$ 是4，则输出的 $P$ 是（）

设 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{1}{3}$，则 $\sin 2\theta =$（）

如图，四棱锥 $S-ABCD$的底面为正方形， $SD\perp$底面 $ABCD$，则下列结论中不正确的是（   ）

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{2}^{1-x}& x\le 1\\ 1-{\log }_{2}x& x>1\end{array}\right.$则满足 $f\left(x\right)\le 2$的 $x$的取值范围是（）

若 $a,b,c$均为单位向量，且 $a·b=0,(a-c)·(b-c)\le 0$，则 $\left|a+b-c\right|$的最大值为（   ）

函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $R$， $f\left(-1\right)=2$，对任意 $x\in R$， $f^{`}\left(x\right)>2$，则 $f\left(x\right)>2x+4$的解集为（  ）

已知球的直径 $SC=4$， $A,B$是该球球面上的两点， $AB=\sqrt{3}$， $\angle ASC=\angle BSC=30°$，则棱锥 $S-ABC$的体积为（）

已知点 $(2,3)$在双曲线 $C:$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$上， $C$的焦距为4，则它的离心率为.

调查了某地若干户家庭的年收入 $x$（单位：万元）和年饮食支出 $y$（单位：万元），调查显示年收入 $x$与年饮食支出 $y$具有线性相关关系，并由调查数据得到 $y$对x的回归直线方程： $\overline{y}=0.254x+0.321$由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加（  ）万元.

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 $2\sqrt{3}$ ,它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 .

已知函数 $f\left(x\right)=A\tan (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\omega \right|<\frac{\pi }{2}),y=f\left(x\right)$的部分图像如下图，则 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=$.

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_2=0$， $a_6+a_8=-10$.

（I）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（II）求数列 $\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$的前 $n$项和.

如图，四边形 $ABCD$为正方形， $PD\perp$平面 $ABCD$， $PD\parallel QA$， $QA=AB=\frac{1}{2}PD$.

（I）证明：平面 $PQC\perp$平面 $DCQ$

（II）求二面角 $Q-BP-C$的余弦值.

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成 $n$小块地,在总共 $2n$小块地中,随机选 $n$小块地种植品种甲,另外 $n$小块地种植品种乙.
(I)假设 $n=4$,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 $X$,求 $X$的分布列和数学期望；
(II)试验时每大块地分成8小块，即 $n=8$,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： $kg/h{m}^2$）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据 $x_1,x_2,\cdots ,x_a$的样本方差 $s^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\cdots +{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$,其中 $\overline{x}$为样本平均数.

如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M,N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$ ，且 $C_1,C_2$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l\perp MN$ ， $l与C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$ .

（1）设 $e=\frac{1}{2}$ ，求 $\left|BC\right|$ 与 $\left|AD\right|$ 的比值；
（2）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $BO\parallel AN$ ，并说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=\ln x-a{x}^2+(2-a)x$．
（I）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（II）设 $a>0$，证明：当 $0<x<\frac{1}{a}$时， $f(\frac{1}{a}+x)>f(\frac{1}{a}-x)$；
（III）若函数的图像与x轴交于 $A,B$两点，线段 $AB$中点的横坐标为 $x_0$，
证明： $f`\left(x_0\right)<0$

$A,B,G,F$ 如图， $A,B,C,D$ 四点在同一圆上， $AD$ 的延长线与 $BC$ 的延长线交于 $E$ 点，且 $EC=ED$ .

（I）证明： $CD//AB$ ；
（II）延长 $CD$ 到 $F$ ，延长 $DC$ 到 $G$ ，使得 $EF=EG$ ，证明：四点共圆.

在平面直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \phi \\ y=\sin \phi \end{array}\right.$（ $\phi$为参数）曲线 $C_2$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=acos\phi \\ y=bsin\phi \end{array}\right.$（ $a>b>0$， $\phi$为参数）在以 $0$为极点， $x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l$： $\theta =\alpha$与 $C_1$， $C_2$各有一个交点.当 $\alpha =0$时，这两个交点间的距离为 $2$，当 $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{2}$时，这两个交点重合.

（1）分别说明 $C_1$， $C_2$是什么曲线，并求出 $a$与 $b$的值；
（2）设当 $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$时， $l$与 $C_1$， $C_2$的交点分别为 $A_1$， $B_1$,当 $\alpha =-\frac{\mathrm{\pi }}{4}$时， $l$与 $C_1$， $C_2$的交点为 $A_2$， $B_2$，求四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|-\left|x-5\right|$.
（I）证明： $-3\le f\left(x\right)\le 3$；
（II）求不等式 $f\left(x\right)\ge x^2-8x+15$的解集.