2011年全国统一高考文科数学试卷（辽宁卷）

已知集合 $A=\left\{x\right|x>1\},B=\{x|-1<x<2\}$，则 $A\cap B=$（  ）

$i$为虚数单位， $\frac{1}{i}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^5}+\frac{1}{i^7}=$（  ）

已知向量 $a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0$，则 $k=$(   )

已知命题 $p:\exists n\in N,2^n>1000$,则 $\neg p$为(   )

若等比数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_n{a}_{n+1}={16}^n$，则公比为（  ）

若函数 $f\left(x\right)=\frac{x}{\left(2x+1\right)\left(x-a\right)}$为奇函数，则 $a=$（）

已知 $F$是抛物线 $y^2=x$的焦点， $A,B$是该抛物线上的两点， $\left|AF\right|+\left|BF\right|=3$则线段 $AB$的中点到 $y$轴的距离为(   )

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 $2\sqrt{3}$ ，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是(  )

A. $4$         B. $2\sqrt{3}$         C. $2$            D. $\sqrt{3}$

执行下面的程序框图，如果输入的 $n$是4，则输出的 $P$是（）

已知球的直径 $SC=4,A,B$是该球球面上的两点， $AB=2,\angle ASC=\angle BSC=45°$则棱锥 $S-ABC$的体积为(   )

函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $R$， $f(-1)=2$，对任意 $x\in R$， $f`\left(x\right)>2$，则 $f\left(x\right)>2x+4$的解集为（   ）

已知函数 $f$ $\left(x\right)=A\tan \left(\omega x+\phi \right)\left(\omega >0,\left|\omega \right|<\frac{\pi }{2}\right)$ , $Y=f\left(x\right)$ 的部分图像如图，则 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=$

已知圆 $C$经过两点 $A(5,1),B(1,3)$，圆心在 $x$轴上，则 $C$的方程为.

调查了某地若干户家庭的年收入 $x$（单位：万元）和饮食支出 $y$(单位：万元)，调查显示年收入 $x$与年饮食支出 $y$具有线性相关关系，并调查数据得到 $y$对 $x$的回归直线方程： $\stackrel{⏜}{y}=0.254x+0.321$由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元。

$S_n$为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和， $S_2=S_6,a_4=1$，则 $a_5=$.

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-2x+a$零点，则 $a$的取值范围是。

$△ABC$的三个内角 $A$、 $B$、 $C$所对的边分别为 $a$， $b$， $c$， $a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$.

(1)求 $\frac{b}{a}$

(2)若 $C^2=b^2+\sqrt{3}{a}^2$,求 $B$.

如图,四边形 $ABCD$为正方形, $QA\perp$平面 $ABCD,PD\parallel QA,QA=AB=\frac{1}{2}PD$.

(I)证明: $PQ\perp$平面 $DCQ$；
(II)求棱锥 $Q-ABCD$的体积与棱锥 $P-DCQ$的体积的比值.

$$\begin{gathered} \mathrm{某农搜索场计划种植某种新作物}，\mathrm{为此对这种作物的两个品种}（\mathrm{分别称为品种甲和品种乙}）\mathrm{进行田间试验}。 \\ \mathrm{选取两大块地}，\mathrm{每大块地分成}n\mathrm{小块地}，\mathrm{在总共}2n\mathrm{小块地中}，\mathrm{随机选}n\mathrm{小块地种品种甲}，\mathrm{另外}n\mathrm{小块地种植品种乙}。 \\ （1）\mathrm{假设}n=4，\mathrm{在第一大块地中}，\mathrm{种植品种甲的小块地的数目记为}X，求X\mathrm{的分布列和数学期望}； \\ （2）\mathrm{试验时每大块地分成}8\mathrm{小块}，即n=8，\mathrm{试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量}（\mathrm{单位}：kg/hm 2 ）\mathrm{如下表}： \\ \mathrm{品种甲} 403 397 390 404 388 400 412 406 \\ \mathrm{品种乙} 419 403 412 418 408 423 400 413 \\ \mathrm{分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差}；\mathrm{根据试验结果}，\mathrm{你认为应该种植哪一品种}？ \end{gathered}$$

设函数 $f\left(x\right)=x+a{x}^2+b\ln x$，曲线 $y=f\left(x\right)$过 $P\left(1,0\right)$，且在 $P$点处的切斜线率为 $2$.
（1）求 $a,b$的值；
（2）证明： $f\left(x\right)\le 2x-2$。

如图，已知椭圆 $C_1$的中心在圆点 $O$，长轴左、右端点 $M$、 $N$在x轴上，椭圆 $C_1$的短轴为 $MN$，且 $C_1$， $C_2$的离心率都为 $e$，直线 $l\perp MN$， $l$与 $C_1$交于两点，与 $C_2$交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$、 $B$、 $C$、 $D$.

（I）设 $e=\frac{1}{2}$，求 $\left|BC\right|$与 $\left|AD\right|$的比值；
（II）当 $e$变化时，是否存在直线 $l$，使得 $BO//AN$,并说明理由.

$A,B,G,F$ 如图， $A,B,C,D$ 四点在同一圆上， $AD$ 的延长线与 $BC$ 的延长线交于 $E$ 点，且 $EC=ED$ .

（I）证明： $CD//AB$ ；
（II）延长 $CD$ 到 $F$ ，延长 $DC$ 到 $G$ ，使得 $EF=EG$ ，证明：四点共圆.

在平面直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \phi \\ y=\sin \phi \end{array}\right.$（ $\phi$为参数）曲线 $C_2$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a\cos \phi \\ y=b\sin \phi \end{array}\right.$（ $a>b>0$， $\phi$为参数）在以 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l$： $\theta =\alpha$与 $C_1$， $C_2$各有一个交点.当 $\alpha =0$时，这两个交点间的距离为 $2$，当 $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{2}$时，这两个交点重合。
（I）分别说明 $C_1$， $C_2$是什么曲线，并求出 $a$与 $b$的值；
(II)设当 $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$时， $l$与 $C_1$， $C_2$的交点分别为 $A_1$, $B_1$,当 $\alpha =-\frac{\mathrm{\pi }}{4}$时， $l$与 $C_1$， $C_2$的交点为 $A_2$， $B_2$，求四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$的面积。

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|-\left|x-5\right|$.
（I）证明： $-3\le f\left(x\right)\le 3$；
（II）求不等式 $f\left(x\right)\ge x^2-8x+15$的解集.