如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为 $3L$，平台高为 $L$。药品盒A、B依次被轻放在以速度 $v_0$匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从 $M$点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端 $N$点停下，随后滑下的B以 $2v_0$的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B的质量分别为 $m$和 $2m$，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的 $\frac{1}{4}$。 $A$与传送带间的动摩擦因数为 $\mu$，重力加速度为g，AB在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：

（1）A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间 $t$；

（2）B从 $M$点滑至 $N$点的过程中克服阻力做的功 $W$；

（3）圆盘的圆心到平台右端 $N$点的水平距离 $s$．