初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图， 已知： $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， 过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp \mathit{AB}$ 交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $D$ ，取 $\mathit{AD}$ 的中点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $G$ ．

求证：

（1） $\mathit{FC}=\mathit{FG}$ ；

（2） $A{B}^2=\mathit{BC}·\mathit{BG}$ ．

如图， 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ． 若 $\mathit{DE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的中位线， 延长 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外角 $\angle \mathit{ACM}$ 的平分线于点 $F$ ，则线段 $\mathit{DF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．	A ． 7B ． 8C ． 9D ． 10

如图，在正方形的右侧作等边三角形，连接，则的度数是　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=2\angle C$ ，分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径画弧，两弧在 $\mathit{AC}$ 两侧分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，作直线 $\mathit{PQ}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=14$ ，则 $\mathit{BD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

6

C．

8

D．

10

如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．过点作于点（点不与点、重合），作，边交射线于点．设点的运动时间为秒．

（1）用含的代数式表示线段的长；

（2）当点与点重合时，求的值；

（3）设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；

（4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．

如图，在中，，，平分交于点．

求证：．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，EF⊥AC于F．

（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：∠CAD=∠AEF；
（3）若∠ABC=45°，AD与EF交于点G，求证：EG=2AF．

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D，交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③DC+BC=AB，正确的有（  ）

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．

（年贵州省遵义市）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD—AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

（年云南省曲靖市）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．

（本题12分）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4.

（1）求证：△EGB是等腰三角形
（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小           度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。