高中数学试题

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{MC}=2\mathit{MB}$ ，求点 $C$ 到平面 $\mathit{POM}$ 的距离．

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

   为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2},即\alpha =\frac{\pi }{6}$ ）建立模型①： $\stackrel{̂}{y}=-30.4+13.5t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x-2+2x-2>2\end{array}\right.$ ）建立模型②： $\stackrel{̂}{y}=99+17.5t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_n$为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，已知，．

    （1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）求 $S_n$，并求 $S_n$的最小值．

已知圆锥的顶点为 $S$，母线 $\mathit{SA}$， $\mathit{SB}$互相垂直， $\mathit{SA}$与圆锥底面所成角为 $30°$，若 $△\mathit{SAB}$的面积为 $8$，则该圆锥的体积为__________．

已知 $\text{tan}\left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)=\frac{1}{5}$，则 $\text{tan}\alpha =$__________．

若 $x,\mathit{\hspace{0.33em}y}$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y-5\ge 0,\\ x-2y+3\ge 0,\\ x-5\le 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$的最大值为__________．

曲线 $y=2\mathit{ln}x$在点 $\left(1,0\right)$处的切线方程为__________．

已知 $f\left(x\right)$ 是定义域为 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数,满足 $f(1-x)=f(1+x)$ .若 $f\left(1\right)=2$ ，则 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots +f\left(50\right)=$ (　　)

A．

$-50$

B．

$0$

C．

$2$

D．

$50$

已知 $F_1$ ， $F_2$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P{F}_1\perp P{F}_2$ ，且 $\angle P{F}_2{F}_1=60°$ ，则 $C$ 的离心率为(　　)

A．

$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$2-\sqrt{3}$

C．

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

D．

$\sqrt{3}-1$

若 $f\left(x\right)=\text{cos}x-\text{sin}x$ 在 $\left[-a,\mathit{\hspace{0.33em}a}\right]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是(　　)

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\frac{3\pi }{4}$

D．

$\pi$

在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E$ 为棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{CD}$ 所成角的正切值为(　　)

A．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

D．

为计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．	$i=i+1$
B．	$i=i+2$
C．	$i=i+3$
D．	$i=i+4$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{cos}\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,BC=1,AC=5，则AB=(　　)

A．

$4\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{30}$

C．

$\sqrt{29}$

D．

$2\sqrt{5}$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为(　　)

A．

B．

$y=\pm \sqrt{3}x$

C．

$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

D．

$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$