高中数学试题

已知曲线 C： y= $\frac{x^2}{2}$ ， D为直线 y= $-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为 A， B.

（1）证明：直线 AB过定点：

（2）若以 E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+b$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）是否存在 $a,b$ ，使得 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为1？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由.

图1是由矩形 ADEB，Rt△ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE= BF=2，∠ FBC=60°，将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图2.

（1）证明：图2中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（2）求图2中的二面角 B−CG−A的大小.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 $A,B$ 两组，每组100只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记 $C$ 为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于 $5.5$ "，根据直方图得到 $P\left(C\right)$ 的估计值为 $0.70$ .

（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a,b$ 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 挖去四棱锥 $O-\mathit{EFGH}$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心， 分别为所在棱的中点， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=6\mathit{cm},\mathit{A}{A}_1=4\mathit{cm}$ ， 打印所用原料密度为 $0.9g/c{m}^3$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ $g$ .

设 $F_1，F_2$为椭圆 $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$的两个焦点， $M$为 $C$上一点且在第一象限.若 $△M{F}_1{F}_2$为等腰三角形，则 $M$的坐标为___________.

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和， $a_1\ne 0，a_2=3a_1$，则 $\frac{S_{10}}{S_5}=$___________.

已知 $\vec{a},\vec{b}$为单位向量，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}$=0，若 $\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$ ，则 $\mathit{cos}<\vec{a},\vec{c}>=$___________.

设函数 $f\left(x\right)$ =sin（ $\mathit{\omega x}+\frac{\pi }{5}$ ）( $\omega$ ＞0)，已知 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,2\pi \right]$ 有且仅有5个零点，下述四个结论：

① $f\left(x\right)$ 在（ $0,2\pi$ ）有且仅有3个极大值点

② $f\left(x\right)$ 在（ $0,2\pi$ ）有且仅有2个极小值点

③ $f\left(x\right)$ 在（ $0,\frac{\pi }{10}$ ）单调递增

④ $\omega$ 的取值范围是[ $\frac{12}{5}，\frac{29}{10}$ )

其中所有正确结论的编号是（   ）

A．

①④

B．

②③

C．

①②③

D．

①③④

设 $f\left(x\right)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $\left(0,+\infty \right)$ 单调递减，则（   ）

A．
B．
C．
D．

双曲线 C： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}$ =1的右焦点为 F，点 P在 C的一条渐近线上， O为坐标原点，若 $\left|\mathit{PO}\right|=\left|\mathit{PF}\right|$ ，则△ PFO的面积为（  ）

A．

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

B．

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C．

$2\sqrt{2}$

D．

$3\sqrt{2}$

执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\epsilon$ 为 $0.01$ ，则输出 $s$ 的值等于（   ）

A．

$2-\frac{1}{2^4}$

B．

$2-\frac{1}{2^5}$

C．

$2-\frac{1}{2^6}$

D．

$2-\frac{1}{2^7}$

如图，点 $N$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 的中心， $\mathit{\Delta ECD}$ 为正三角形，平面 $\mathit{ECD}\perp$ 平面 $\mathit{ABCD},M$ 是线段 $\mathit{ED}$ 的中点，则（ ）

A．	$\mathit{BM}=\mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是相交直线
B．	$\mathit{BM}\ne \mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是相交直线
C．	$\mathit{BM}=\mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是异面直线
D．	$\mathit{BM}\ne \mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是异面直线

函数 $y=\frac{2x^3}{2^x+2^{-x}}$ 在 $\left[-6,6\right]$ 的图像大致为（  ）

A．

B．

C．

D．