初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数且 $k\ne 0)$ 的图象相交于 $A(-1,m)$ ， $B$ 两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数 $y=x+5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位 $(b>0)$ ，使平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(3,4)$ ．

（1）求过点 $B$ 的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）连接 $\mathit{OB}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{OB}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，求直线 $\mathit{BD}$ 的解析式．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象经过 $A(3,18)$ 和 $B(-2,8)$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）若一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0)$ 的图象只有一个交点，求交点坐标．

如图，反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(x>0)$ 和一次函数 $y_2=\mathit{kx}+b$ 的图象都经过点 $A(1,4)$ 和点 $B(n,2)$ ．

（1） $m=$　 　， $n=$　　；

（2）求一次函数的解析式，并直接写出 $y_1<y_2$ 时 $x$ 的取值范围；

（3）若点 $P$ 是反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(x>0)$ 的图象上一点，过点 $P$ 作 $\mathit{PM}\perp x$ 轴，垂足为 $M$ ，则 $\mathit{\Delta POM}$ 的面积为 　　．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A(6,1)$ ， $B(a,-3)$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2） $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为 　 　；

（3）直接写出 $y_1>y_2$ 时 $x$ 的取值范围．

如图，直线 $\mathit{AB}$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，已知点 $A$ 的坐标为 $(6,1)$ ， $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为8．

（1）填空：反比例函数的关系式为　 $y=\frac{6}{x}$ 　；

（2）求直线 $\mathit{AB}$ 的函数关系式；

（3）动点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，当线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PB}$ 之差最大时，求点 $P$ 的坐标．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$ 的图象与正比例函数 $y=2x$ 的图象相交于 $A(1,a)$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 在第四象限， $\mathit{BC}//x$ 轴．

（1）求 $k$ 的值；

（2）以 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 为边作菱形 $\mathit{ABCD}$ ，求 $D$ 点坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的一个交点为 $C$ ，且 $\mathit{BC}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）当 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=3$ 时，求 $a$ 和 $k$ 的值．

如图，一次函数 $y=x+1$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数 $y=x+1$的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象的交点坐标；

（3）直接写出一个一次函数，使其过点 $(0,5)$，且与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象没有公共点．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$与一次函数 $y=-x-(k+1)$的图象在第二象限的交点为 $A$，在第四象限的交点为 $C$，直线 $\mathit{AO}(O$为坐标原点）与函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于另一点 $B$．过点 $A$作 $y$轴的平行线，过点 $B$作 $x$轴的平行线，两直线相交于点 $E$， $\mathit{\Delta AEB}$的面积为6．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）求点 $A$， $C$的坐标和 $\mathit{\Delta AOC}$的面积．

如图所示，一次函数 $y=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于第二、四象限的点 $A(-2,a)$和点 $B(b,-1)$，过 $A$点作 $x$轴的垂线，垂足为点 $C$， $\mathit{\Delta AOC}$的面积为4．

（1）分别求出 $a$和 $b$的值；

（2）结合图象直接写出 $\mathit{mx}+n>\frac{k}{x}$中 $x$的取值范围；

（3）在 $y$轴上取点 $P$，使 $\mathit{PB}-\mathit{PA}$取得最大值时，求出点 $P$的坐标．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}$的图象在第一、第三象限分别交于 $A(3,4)$， $B(a,-2)$两点，直线 $\mathit{AB}$与 $y$轴， $x$轴分别交于 $C$， $D$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小： $\mathit{AD}$　　 $\mathit{BC}$（填“ $>$”或“ $<$”或“ $=$” $)$；

（3）直接写出 $y_1<y_2$时 $x$的取值范围．

如图，双曲线 $y=\frac{m}{x}$经过点 $P(2,1)$，且与直线 $y=\mathit{kx}-4(k<0)$有两个不同的交点．

（1）求 $m$的值．

（2）求 $k$的取值范围．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象在第一象限交于点 $A(3,2)$，与 $y$轴的负半轴交于点 $B$，且 $\mathit{OB}=4$．

（1）求函数 $y=\frac{m}{x}$和 $y=\mathit{kx}+b$的解析式；

（2）结合图象直接写出不等式组 $0<\frac{m}{x}<\mathit{kx}+b$的解集．

如图，一次函数 $y=-x+3$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$在第一象限的图象交于 $A(1,a)$和 $B$两点，与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{\Delta APC}$的面积为5，求点 $P$的坐标．