初中数学反比例函数综合题试题

如图，在矩形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=4$，点 $D$是边 $\mathit{AB}$的中点，反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $D$，交 $\mathit{BC}$边于点 $E$，直线 $\mathit{DE}$的解析式为 $y_2=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$．

（1）求反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(x>0)$的解析式和直线 $\mathit{DE}$的解析式；

（2）在 $y$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PDE}$的周长最小，求出此时点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下， $\mathit{\Delta PDE}$的周长最小值是　 　．

如图，点 $B$ 是反比例函数 $y=\frac{8}{x}(x>0)$ 图象上一点，过点 $B$ 分别向坐标轴作垂线，垂足为 $A$ ， $C$ ．反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过 $\mathit{OB}$ 的中点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ．连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $G$ 与点 $O$ 关于点 $C$ 对称，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{BG}$ ．

（1）填空： $k=$　 　；

（2）求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）求证：四边形 $\mathit{BDFG}$ 为平行四边形．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\angle \mathit{OAB}=30°$，反比例函数 $y=-\frac{3}{x}(x<0)$的图象过点 $B(-3,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象过点 $A$．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{BC}//x$轴，与双曲线 $y=\frac{k}{x}$交于点 $C$．求 $\mathit{\Delta OAC}$的面积．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta OAB}$ 的边 $\mathit{OB}$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $\mathit{OB}=\mathit{AB}$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴于点 $H$ ．

（1）已知一次函数的图象过点 $O$ ， $B$ ，求该一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一点，满足 $\mathit{OC}=\sqrt{3}\mathit{AP}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $\mathit{OP}$ ，记 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPQ}}$ ，设 $\mathit{AQ}=t$ ， $T=O{H}^2-S_{\mathit{\Delta OPQ}}$

①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．

如图，直线y＝4﹣x与双曲线y $=\frac{3}{x}$交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是　 　．

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$与 $x$轴的正半轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的正半轴相切于点 $C$，连接 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MC}$，已知 $\odot M$半径为2， $\angle \mathit{AMC}=60°$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$经过圆心 $M$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}$的解析式；

（2）求直线 $\mathit{BC}$的解析式．

（1）阅读理解

如图，点 $A$， $B$在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上，连接 $\mathit{AB}$，取线段 $\mathit{AB}$的中点 $C$．分别过点 $A$， $C$， $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$， $F$， $G$， $\mathit{CF}$交反比例函数 $y=\frac{1}{x}$的图象于点 $D$．点 $E$， $F$， $G$的横坐标分别为 $n-1$， $n$， $n+1(n>1)$．

小红通过观察反比例函数 $y=\frac{1}{x}$的图象，并运用几何知识得出结论：

$\mathit{AE}+\mathit{BG}=2\mathit{CF}$， $\mathit{CF}>\mathit{DF}$

由此得出一个关于 $\frac{1}{n-1}$， $\frac{1}{n+1}$， $\frac{2}{n}$，之间数量关系的命题：

若 $n>1$，则　 $\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n}$　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若 $a-b⩾0$，则 $a⩾b$”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若 $a>0$， $b>0$，且 $a÷b⩾1$，则 $a⩾b$”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于点 $A$，与 $x$轴交于点 $B(5,0)$，若 $\mathit{OB}=\mathit{AB}$，且 $S_{\mathit{\Delta OAB}}=\frac{15}{2}$．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点 $P$为 $x$轴上一点， $\mathit{\Delta ABP}$是等腰三角形，求点 $P$的坐标．

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$的取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=\frac{6}{x}(x>0)$是减函数．

证明：设 $0<x_1<x_2$，

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{6}{x_1}-\frac{6}{x_2}=\frac{6x_2-6x_1}{x_1{x}_2}=\frac{6(x_2-x_1)}{x_1{x}_2}$．

$\because 0<x_1<x_2$，

$\therefore x_2-x_1>0$， $x_1{x}_2>0$．

$\therefore \frac{6(x_2-x_1)}{x_1{x}_2}>0$．即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$．

$\therefore f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)==\frac{6}{x}(x>0)$是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+x(x<0)$，

$f(-1)=\frac{1}{{(-1)}^2}+(-1)=0$， $f(-2)=\frac{1}{{(-2)}^2}+(-2)=-\frac{7}{4}$

（1）计算： $f(-3)=$　 $-\frac{26}{9}$　， $f(-4)=$　　；

（2）猜想：函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+x(x<0)$是　　函数（填“增”或“减” $)$；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

如图1，点 $A(0,8)$、点 $B(2,a)$在直线 $y=-2x+b$上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $B$．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）将线段 $\mathit{AB}$向右平移 $m$个单位长度 $(m>0)$，得到对应线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

①如图2，当 $m=3$时，过 $D$作 $\mathit{DF}\perp x$轴于点 $F$，交反比例函数图象于点 $E$，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}$的值；

②在线段 $\mathit{AB}$运动过程中，连接 $\mathit{BC}$，若 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为腰的等腰三角形，求所有满足条件的 $m$的值．

如图，过原点的直线与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$在第一象限．点 $C$在 $x$轴正半轴上，连结 $\mathit{AC}$交反比例函数图象于点 $D$． $\mathit{AE}$为 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，过点 $B$作 $\mathit{AE}$的垂线，垂足为 $E$，连结 $\mathit{DE}$．若 $\mathit{AC}=3\mathit{DC}$， $\mathit{\Delta ADE}$的面积为8，则 $k$的值为　　．

如图，在 $x$轴上方，平行于 $x$轴的直线与反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$和 $y=\frac{k_2}{x}$的图象分别交于 $A$、 $B$两点，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$，若 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为6，则 $k_1-k_2=$　　．

模具厂计划生产面积为4，周长为 $m$的矩形模具．对于 $m$的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为 $x$， $y$，由矩形的面积为4，得 $\mathit{xy}=4$，即 $y=\frac{4}{x}$；由周长为 $m$，得 $2(x+y)=m$，即 $y=-x+\frac{m}{2}$．满足要求的 $(x,y)$应是两个函数图象在第　一　象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象如图所示，而函数 $y=-x+\frac{m}{2}$的图象可由直线 $y=-x$平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y=-x$．

（3）平移直线 $y=-x$，观察函数图象

①当直线平移到与函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象有唯一交点 $(2,2)$时，周长 $m$的值为　　；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 $m$的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长 $m$的取值范围为　　．

小明在研究矩形面积 $S$与矩形的边长 $x$， $y$之间的关系时，得到下表数据：

$x$	0.5	1	1.5	2	3	4	6	12
$y$	12	6	4	3	2		1	0.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了

（1）被墨水涂黑的数据为　　．

（2） $y$与 $x$之间的函数关系式为　　，且 $y$随 $x$的增大而　　．

（3）如图是小明画出的 $y$关于 $x$的函数图象，点 $B$、 $E$均在该函数的图象上，其中矩形 $\mathit{OABC}$的面积记为 $S_1$，矩形 $\mathit{ODEF}$的面积记为 $S_2$，请判断 $S_1$和 $S_2$的大小关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下， $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $G$，反比例函数 $y=\frac{2}{x}$的图象经过点 $G$交 $\mathit{AB}$于点 $H$，连接 $\mathit{OG}$、 $\mathit{OH}$，则四边形 $\mathit{OGBH}$的面积为　　．

如图，一次函数 $y=-x+b$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $A(m,3)$和 $B(3,1)$．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$，若 $\mathit{\Delta POD}$的面积为 $S$，求 $S$的取值范围．