初中数学抛物线与x轴的交点解答题

已知二次函数的表达式为 $y=x^2+\mathit{mx}+n$．

（1）若这个二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，点 $B(3,0)$，求实数 $m$， $n$的值；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$是有一个内角为 $30°$的直角三角形， $\angle C$为直角， $\sin A$， $\cos B$是方程 $x^2+\mathit{mx}+n=0$的两个根，求实数 $m$， $n$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的顶点坐标是 $（-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}）$

已知抛物线 y＝ x ²+ mx﹣2 m﹣4（ m＞0）．

（1）证明：该抛物线与 x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与 x轴的两个交点分别为 A， B（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C， A， B， C三点都在⊙ P上．

①试判断：不论 m取任何正数，⊙ P是否经过 y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点 C关于直线 x＝﹣ $\frac{m}{2}$ 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE， BD， DE，△ BDE的周长记为 l，⊙ P的半径记为 r，求 $\frac{1}{r}$ 的值．

已知抛物线 y＝ mx ²+（1﹣2 m） x+1﹣3 m与 x轴相交于不同的两点 A、 B

（1）求 m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P的坐标；

（3）当 $\frac{1}{4}$ ＜ m≤8时，由（2）求出的点 P和点 A， B构成的△ ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m值．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B$ $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ABC}$，若存在请直接写出点 $P$的坐标．若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $P$．已知 $B(1,0)$， $C(0,-3)$．请答案下列问题：

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 $P$的坐标；

（2）抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{AP}$的垂直平分线交直线 $\mathit{PE}$于点 $M$，则线段 $\mathit{EM}$的长为　 $\frac{3}{2}$　．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$．

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的顶点在一次函数 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的图象上，则称 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$为 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的伴随函数，如： $y=x^2+1$是 $y=x+1$的伴随函数．

（1）若 $y=x^2-4$是 $y=-x+p$的伴随函数，求直线 $y=-x+p$与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y=\mathit{mx}-3(m\ne 0)$的伴随函数 $y=x^2+2x+n$与 $x$轴两个交点间的距离为4，求 $m$， $n$的值．

已知二次函数 $y=x^2+x+a$的图象与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0)$两点，且 $\frac{1}{x_1{}^2}+\frac{1}{x_2{}^2}=1$，求 $a$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$， $B$的坐标，并根据该函数图象写出 $y⩾0$时 $x$的取值范围．

（2）把点 $B$向上平移 $m$个单位得点 $B_1$．若点 $B_1$向左平移 $n$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_2$重合；若点 $B_1$向左平移 $(n+6)$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_3$重合．已知 $m>0$， $n>0$，求 $m$， $n$的值．

已知抛物线 $y=2x^2-4x+c$与 $x$轴有两个不同的交点．

（1）求 $c$的取值范围；

（2）若抛物线 $y=2x^2-4x+c$经过点 $A(2,m)$和点 $B(3,n)$，试比较 $m$与 $n$的大小，并说明理由．

已知 $k$是常数，抛物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$的对称轴是 $y$轴，并且与 $x$轴有两个交点．

（1）求 $k$的值；

（2）若点 $P$在物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$上，且 $P$到 $y$轴的距离是2，求点 $P$的坐标．

已知二次函数 $y=-\frac{3}{16}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $A(0,3)$， $B(-4,-\frac{9}{2})$两点．

（1）求 $b$， $c$的值．

（2）二次函数 $y=-\frac{3}{16}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

已知二次函数 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$图象的顶点坐标为 $(3,8)$，该二次函数图象的对称轴与 $x$轴的交点为 $A$， $M$是这个二次函数图象上的点， $O$是原点．

（1）不等式 $b+2c+8⩾0$是否成立？请说明理由；

（2）设 $S$是 $\mathit{\Delta AMO}$的面积，求满足 $S=9$的所有点 $M$的坐标．

已知抛物线 $L:y=x^2+x-6$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求 $A$、 $B$、 $C$三点的坐标，并求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）将抛物线 $L$向左或向右平移，得到抛物线 $L\text{'}$，且 $L\text{'}$与 $x$轴相交于 $A^{\text{'}}$、 $B\text{'}$两点（点 $A\text{'}$在点 $B\text{'}$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C\text{'}$，要使△ $A^{\text{'}}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

已知抛物线 $L:y=m{x}^2-8x+3m$与 $x$轴相交于 $A$和 $B(-1,0)$两点，并与 $y$轴相交于点 $C$．抛物线 $L\text{'}$与 $L$关于坐标原点对称，点 $A$、 $B$在 $L\text{'}$上的对应点分别为 $A\text{'}$、 $B\text{'}$

（1）求抛物线 $L$的函数表达式；

（2）在抛物线 $L\text{'}$上是否存在点 $P$，使得△ $P{A}^{\text{'}}A$的面积等于△ $C{B}^{\text{'}}B$的面积？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．