初中数学等腰三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\widehat{\mathit{AC}}=\widehat{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\widehat{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

$[$初步尝试 $]$

（1）如图①，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$折叠，使点 $B$与点 $C$重合，折痕为 $\mathit{MN}$，则 $\mathit{AM}$与 $\mathit{BM}$的数量关系为　 　；

$[$思考说理 $]$

（2）如图②，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=6$， $\mathit{AB}=10$，将 $\mathit{\Delta ABC}$折叠，使点 $B$与点 $C$重合，折痕为 $\mathit{MN}$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{BM}}$的值；

$[$拓展延伸 $]$

（3）如图③，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=9$， $\mathit{BC}=6$， $\angle \mathit{ACB}=2\angle A$，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿过顶点 $C$的直线折叠，使点 $B$落在边 $\mathit{AC}$上的点 $B\text{'}$处，折痕为 $\mathit{CM}$．

①求线段 $\mathit{AC}$的长；

②若点 $O$是边 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$为线段 $\mathit{OB}\text{'}$上的一个动点，将 $\mathit{\Delta APM}$沿 $\mathit{PM}$折叠得到△ $A\text{'}\mathit{PM}$，点 $A$的对应点为点 $A\text{'}$， $A\text{'}M$与 $\mathit{CP}$交于点 $F$，求 $\frac{\mathit{PF}}{\mathit{MF}}$的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上， $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $\mathit{BC}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AE}=10$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$， $\odot O$的切线 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$的延长线于点 $F$，切点为 $A$，且 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BF}=5$，求 $\sin \angle \mathit{BDC}$的值．

已知抛物线 $y=a{(x-2)}^2+c$经过点 $A(-2,0)$和点 $C(0,\frac{9}{4})$，与 $x$轴交于另一点 $B$，顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）如图，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$上（点 $E$不与点 $A$， $B$重合），且 $\angle \mathit{DEF}=\angle \mathit{DAB}$， $\mathit{DE}=\mathit{EF}$，直接写出线段 $\mathit{BE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$的中点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$两点，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{FG}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{CD}=2.5$，求 $\mathit{FG}$的长．

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点在格点上，点 $E$是边 $\mathit{DC}$与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点 $A$画线段 $\mathit{AF}$，使 $\mathit{AF}//\mathit{DC}$，且 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$．

（2）如图1，在边 $\mathit{AB}$上画一点 $G$，使 $\angle \mathit{AGD}=\angle \mathit{BGC}$．

（3）如图2，过点 $E$画线段 $\mathit{EM}$，使 $\mathit{EM}//\mathit{AB}$，且 $\mathit{EM}=\mathit{AB}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBE}$是等腰三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta COE}\backsim \mathit{\Delta CAB}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点，过点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\angle A=22.5°$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{DC}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$是 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{BE}$是 $\mathit{AC}$边上的中线，且 $\mathit{BD}=\mathit{CE}$．求证：

（1）点 $D$在 $\mathit{BE}$的垂直平分线上；

（2） $\angle \mathit{BEC}=3\angle \mathit{ABE}$．

$\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $l$与 $\odot O$相离， $\mathit{OB}\perp l$于点 $B$，且 $\mathit{OB}=5$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$交于点 $P$， $\mathit{AP}$的延长线交直线 $l$于点 $C$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的半径为3，求线段 $\mathit{AP}$的长；

（3）若在 $\odot O$上存在点 $G$，使 $\mathit{\Delta GBC}$是以 $\mathit{BC}$为底边的等腰三角形，求 $\odot O$的半径 $r$的取值范围．