初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图一，在射线 $\mathit{DE}$的一侧以 $\mathit{AD}$为一条边作矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}=5\sqrt{3}$， $\mathit{CD}=5$，点 $M$是线段 $\mathit{AC}$上一动点（不与点 $A$重合），连结 $\mathit{BM}$，过点 $M$作 $\mathit{BM}$的垂线交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，连接 $\mathit{BN}$．

（1）求 $\angle \mathit{CAD}$的大小；

（2）问题探究：动点 $M$在运动的过程中，

①是否能使 $\mathit{\Delta AMN}$为等腰三角形，如果能，求出线段 $\mathit{MC}$的长度；如果不能，请说明理由．

② $\angle \mathit{MBN}$的大小是否改变？若不改变，请求出 $\angle \mathit{MBN}$的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$运动到 $\mathit{AC}$的中点时， $\mathit{AM}$与 $\mathit{BN}$的交点为 $F$， $\mathit{MN}$的中点为 $H$，求线段 $\mathit{FH}$的长度．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,5)$，与 $x$轴相交于 $B(-1,0)$， $C(3,0)$两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$在抛物线的对称轴上，且位于 $x$轴的上方，将 $\mathit{\Delta BCD}$沿直线 $\mathit{BD}$翻折得到△ $B{C}^{\text{'}}D$，若点 $C^{\text{'}}$恰好落在抛物线的对称轴上，求点 $C^{\text{'}}$和点 $D$的坐标；

（3）设 $P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 $Q$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta CPQ}$为等边三角形时，求直线 $\mathit{BP}$的函数表达式．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $\mathit{\Delta ABC}$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $\mathit{AE}$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E\text{'}$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A\text{'}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1}O{C}_1$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_1$ ， $C_1$ ，且点 $A_1$ 恰好落在 $\mathit{AC}$ 上，连接 $C_{1}A\text{'}$ ， $C_{1}E\text{'}$ ，△ $A\text{'}{C}_{1}E\text{'}$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E\text{'}$ 的坐标；若不能，请说明理由．

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆半径 $R$的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $\odot O$的半径为13，弦 $\mathit{AB}=24$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\odot O$上一动点，求 $\mathit{PM}$的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$是某新区的三条规划路，其中 $\mathit{AB}=6\mathit{km}$， $\mathit{AC}=3\mathit{km}$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\widehat{\mathit{BC}}$所对的圆心角为 $60°$，新区管委会想在 $\widehat{\mathit{BC}}$路边建物资总站点 $P$，在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$路边分别建物资分站点 $E$、 $F$，也就是，分别在 $\widehat{\mathit{BC}}$、线段 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$上选取点 $P$、 $E$、 $F$．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P\to E\to F\to P$的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$和 $\mathit{FP}$．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FP}$之和最短，试求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

我们定义：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，把 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <180°)$得到 $A{B}^{\text{'}}$，把 $\mathit{AC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\beta$得到 $A{C}^{\text{'}}$，连接 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$．当 $\alpha +\beta =180°$时，我们称△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上的中线 $\mathit{AD}$叫做 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”，点 $A$叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形时， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系为 $\mathit{AD}=$　　 $\mathit{BC}$；

②如图3，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{BC}=8$时，则 $\mathit{AD}$长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $\mathit{\Delta ABC}$为任意三角形时，猜想 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $\mathit{ABCD}$， $\angle C=90°$， $\angle D=150°$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DA}=6$．在四边形内部是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PDC}$是 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图1， $A$， $B$分别在射线 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上，且 $\angle \mathit{MON}$为钝角，现以线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$为斜边向 $\angle \mathit{MON}$的外侧作等腰直角三角形，分别是 $\mathit{\Delta OAP}$， $\mathit{\Delta OBQ}$，点 $C$， $D$， $E$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{AB}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta PCE}\cong \mathit{\Delta EDQ}$；

（2）延长 $\mathit{PC}$， $\mathit{QD}$交于点 $R$．

①如图2，若 $\angle \mathit{MON}=150°$，求证： $\mathit{\Delta ABR}$为等边三角形；

②如图3，若 $\mathit{\Delta ARB}\backsim \mathit{\Delta PEQ}$，求 $\angle \mathit{MON}$大小和 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PQ}}$的值．