初中数学三角形的外接圆与外心解答题

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp y$轴交抛物线于另一点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$，双曲线 $y=\frac{6}{x}(x>0)$经过点 $D$，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $N$， $F$分别是 $x$轴， $y$轴上的两点，当以 $M$， $D$， $N$， $F$为顶点的四边形周长最小时，求出点 $N$， $F$的坐标；

（3）动点 $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{OC}$方向运动，运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{BPD}$的度数最大？（请直接写出结果）

如图，已知锐角三角形 $\mathit{ABC}$内接于圆 $O$， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，连接 $\mathit{OA}$．

（1）若 $\angle \mathit{BAC}=60°$，

①求证： $\mathit{OD}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$．

②当 $\mathit{OA}=1$时，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值．

（2）点 $E$在线段 $\mathit{OA}$上， $\mathit{OE}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{DE}$，设 $\angle \mathit{ABC}=m\angle \mathit{OED}$， $\angle \mathit{ACB}=n\angle \mathit{OED}(m$， $n$是正数），若 $\angle \mathit{ABC}<\angle \mathit{ACB}$，求证： $m-n+2=0$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot C$的直径， $M$、 $D$两点在 $\mathit{AB}$的延长线上， $E$是 $\odot C$上的点，且 $D{E}^2=\mathit{DB}·\mathit{DA}$，延长 $\mathit{AE}$至 $F$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，设 $\mathit{BF}=10$， $\cos \angle \mathit{BED}=\frac{4}{5}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DEB}\backsim \mathit{\Delta DAE}$；

（2）求 $\mathit{DA}$， $\mathit{DE}$的长；

（3）若点 $F$在 $B$、 $E$、 $M$三点确定的圆上，求 $\mathit{MD}$的长．

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$及 $l$外一点 $A$，试在直线 $l$上确定 $B$、 $C$两点，使 $\angle \mathit{BAC}=90°$，并画出这个 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$．

问题探究

（2）如图②， $O$是边长为28的正方形 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $M$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连接 $\mathit{OM}$．试在正方形 $\mathit{ABCD}$的边上确定点 $N$，使线段 $\mathit{ON}$和 $\mathit{OM}$将正方形 $\mathit{ABCD}$分割成面积之比为 $1:6$的两部分．求点 $N$到点 $M$的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=30m$， $\mathit{BC}=40m$．根据设计要求，点 $E$、 $F$在对角线 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{EAF}=60°$，并在四边形区域 $\mathit{AECF}$内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆半径 $R$的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $\odot O$的半径为13，弦 $\mathit{AB}=24$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\odot O$上一动点，求 $\mathit{PM}$的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$是某新区的三条规划路，其中 $\mathit{AB}=6\mathit{km}$， $\mathit{AC}=3\mathit{km}$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\widehat{\mathit{BC}}$所对的圆心角为 $60°$，新区管委会想在 $\widehat{\mathit{BC}}$路边建物资总站点 $P$，在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$路边分别建物资分站点 $E$、 $F$，也就是，分别在 $\widehat{\mathit{BC}}$、线段 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$上选取点 $P$、 $E$、 $F$．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P\to E\to F\to P$的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$和 $\mathit{FP}$．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FP}$之和最短，试求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

（1）如图①，点 $A$是 $\odot O$外一点，点 $P$是 $\odot O$上一动点．若 $\odot O$的半径为3，且 $\mathit{OA}=5$，则点 $P$到点 $A$的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $M$、 $N$分别从点 $B$、 $C$同时出发，以相同的速度沿边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$方向向终点 $C$和 $D$运动，连接 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$交于点 $P$，则点 $P$到点 $C$的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$，点 $M$、 $N$分别从点 $B$、 $C$同时出发，以相同的速度沿边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CA}$方向向终点 $C$和 $A$运动，连接 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$交于点 $P$，求 $\mathit{\Delta APB}$面积的最大值，并说明理由．