高中数学离散型随机变量及其分布列试题

设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用 $X$表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $X$的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $M$为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $M$发生的概率．

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ， A ₄ ， A ₅ ， A ₆和4名女志愿者B ₁ ， B ₂ ， B ₃ ， B ₄ ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A ₁但不包含B ₁的概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

在平面直角坐标系xOy中，设点集 $A_n=\left\{\right(0,0),(1,0),(2,0),\dots ,(n,0\left)\right\}$ ， $B_n=\left\{\right(0,1),(n,1)\text{}},C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\cdots ,(n,2)\},n\in N^{*}.$   

令 $M_n=A_n\cup B_n\cup C_n$ .从集合 M _n中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离.

（1）当 n=1时，求 X的概率分布；    

（2）对给定的正整数 n（ n≥3），求概率 P（ X≤ n）（用 n表示）.