初中数学线段垂直平分线的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$ ．分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧交于 $D$ ， $E$ 两点，直线 $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AF}$ 为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{AH}$ ．若 $\mathit{BC}=3$ ，则 $\mathit{\Delta AFH}$ 的周长为 　　．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}<90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于线段 $\mathit{BC}$ 长度一半的长为半径作弧，相交于点 $M$ ， $N$ ；②过点 $M$ ， $N$ 作直线 $\mathit{MN}$ ，分别交 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 于点 $D$ ， $O$ ；③连接 $\mathit{CO}$ ， $\mathit{DE}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OB}=\mathit{OC}$

B．

$\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{COD}$

C．

$\mathit{DE}//\mathit{AB}$

D．

$\mathit{DB}=\mathit{DE}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle C=70°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{BDC}=$

　　 $°$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=7$，直线 $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{BC}$，垂足为 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$，则 $\mathit{\Delta ABD}$的周长是　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}>90°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ， $E$ ．作直线 $\mathit{DE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $F$ ， $G$ ．作直线 $\mathit{FG}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ．连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{AN}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，则 $\angle \mathit{MAN}=$ 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\angle \mathit{BDE}=\angle \mathit{BAC}$

B．

$\angle \mathit{BAD}=\angle B$

C．

$\mathit{DE}=\mathit{DC}$

D．

$\mathit{AE}=\mathit{AC}$

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，射线 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{ON}$ 互相垂直， $\mathit{OA}=8$ ，点 $B$ 位于射线 $\mathit{OM}$ 的上方，且在线段 $\mathit{OA}$ 的垂直平分线 $l$ 上，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AB}=5$ ．把线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转得到对应线段 $A\text{'}B\text{'}$ ，若点 $B\text{'}$ 恰好落在射线 $\mathit{ON}$ 上，则点 $A\text{'}$ 到射线 $\mathit{ON}$ 的距离 $d=$ 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $\mathit{MN}$ 分别交 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，若 $\angle B=50°$ ，则 $\angle \mathit{CAD}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$40°$

C．

$50°$

D．

$60°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=40°$， $\angle C=50°$．

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 $\mathit{DF}$是线段 $\mathit{AB}$的 　　，射线 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{DAC}$的 　　；

（2）在（1）所作的图中，求 $\angle \mathit{DAE}$的度数．

如图， $\mathit{BD}$为 $▱\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）作对角线 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$， $O$（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$为菱形．

（1）如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $P$为边 $\mathit{AB}$上一点，请用尺规作图的方法在边 $\mathit{AC}$上求作一点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{EP}=\mathit{AC}$．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在图中，如果 $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AP}=3\mathit{cm}$，则 $\mathit{\Delta APE}$的周长是 　　 $\mathit{cm}$．

如图，已知 $a//b$ ，直线 $l$ 与直线 $a$ 、 $b$ 分别交于点 $A$ 、 $B$ ，分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ 、 $N$ ，作直线 $\mathit{MN}$ ，交直线 $b$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，若 $\angle 1=40°$ ，则 $\angle \mathit{ACB}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$90°$

B．

$95°$

C．

$100°$

D．

$105°$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle A=90°$，作 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{AC}$至点 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$，求 $\mathit{\Delta ABD}$的周长；

（2）若 $\mathit{AD}=\frac{1}{3}\mathit{BD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值．

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$， $C$是弦 $\mathit{AB}$上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{DE}$，分别交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $D$， $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$；

②以点 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $F(F$， $A$两点不重合），连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（2）直接写出引理的结论：线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{BF}$的数量关系．