2015年全国统一高考理科数学试卷（山东卷）

已知集合$A=\left\{x|x^2-4x+3<0\right\}$，$B=\left\{x|2<x<4\right\}$,则$A\cap B=$（ ）

若复数$z$满足$\frac{\overline{z}}{1-i}=i$，其中$i$为虚数为单位，则$z=$（）

要得到函数$y=\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$的图象，只需要将函数$y=\sin 4x$的图象（）

已知菱形$ABCD$的边长为$a$，$\angle ABC={60}^{°}$,则$\stackrel{\rightharpoonup }{BD}·\stackrel{\rightharpoonup }{CD}=$（ ）

不等式$\left|x-1\right|-\left|x-5\right|<2$的解集是（ ）

A．

（- ，4）

B．

（- ，1）

C．

（1，4）

D．

（1，5）

已知 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y\ge 0\\ x+y\le 2\\ y\ge 0\end{array}\right.$,若 $z=ax+y$的最大值为4,则 $a=$（）

在梯形 $ABCD$中, $\angle ABC=\frac{\pi }{2},AD\parallel BC,BC=2AD=2AB=2$.将梯形 $ABCD$绕 $AD$所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布$N(0,3^2)$，从中随机取一件，其长度误差落在区间$(3,6)$内的概率为（ ）
（附：若随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则$P(\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma )=68.26\%$，$P(\mu -2\sigma <\xi <\mu +2\sigma )=95.44\%$。）

一条光线从点$\left(-2,-3\right)$射出，经轴反射后与圆$(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=1$相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

设函数$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}3x-1,x<1\\ 2^x,x\ge 1\end{array}$则满足$f\left(f\right(a\left)\right)=2^{f\left(a\right)}$的$a$取值范围是（ ）

观察下列各式：
$C_1^0=4^0$

^{$C_3^0+C_3^1=4^1$
$C_5^0+C_5^1+C_5^2=4^2$} 
$C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3=4^3$

……
照此规律,当 $n\in N$时，
$C_{2n-1}^0+C_{2n-1}^1+C_{2n-1}^2+\cdots +C_{2n-1}^{n-1}=$.

若"$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$,$\tan x\le m$"是真命题，则实数$m$的最小值为.

执行右边的程序框图，输出的 $T$ 的值为. 

已知函数 $f\left(x\right)=a^x+b\left(a>0,a\ne 1\right)$ 的定义域和值域都是 $\left[-1,0\right]$,则 $a+b=$.

平面直角坐标系 $xOy$中，双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线与抛物线 $C_2:x^2=2py(p>0）$交于点 $O,A,B$，若 $△OAB$的垂心为 $C_2$的焦点，则 $C_1$的离心率为.

设$f\left(x\right)=\sin x\cos x-{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
（Ⅰ）求$f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）在锐角$△ABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$,若$f\left(\frac{A}{2}\right)=0,a=1$,求$△ABC$面积的最大值.

如图，在三棱台 $DEF-ABC$ 中， $AB=2DE,G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD//$ 平面 $FGH$ ；
（Ⅱ）若 $CF\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB\perp BC,CF=DE$ , $\angle BAC={45}^{°}$ ,求平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的角（锐角）的大小.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$.已知 $2S_n=3^n+3$.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_n{b}_n={\log }_3{a}_n$，求 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$.

若 $n$是一个三位正整数，且 $n$的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$为"三位递增数"（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$的分布列和数学期望 $EX$.

平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左、右焦点分别是$F_1,F_2$，以$F_1$为圆心以3为半径的圆与以$F_2$为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆$C$上.
（Ⅰ）求椭圆$C$的方程；
（Ⅱ）设椭圆$E:\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{4b^2}=1$，$P$为椭圆$C$上任意一点，过点$P$的直线$y=kx+m$交椭圆$E$于$A,B$两点，射线$PO$交椭圆$E$于点$Q$.
（i）求$\frac{\left|OQ\right|}{\left|OP\right|}$的值；
（Ⅱ）求$△ABQ$面积的最大值.

设函数 $f\left(x\right)=\ln (x+1)+a(x^2-x)$，其中 $a\in R$.
（Ⅰ）讨论函数 $f\left(x\right)$极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x>0,f\left(x\right)\ge 0$成立，求 $a$的取值范围.