2015年全国统一高考理科数学试卷（陕西卷）

设集合$M=\left\{\overline{)x}{x}^2=x\right\},N=\left\{\overline{)x}lgx\le 0\right\}$，则$M\cup N$=（）

某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）

如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)+k$ ，据此函数可知，这段时间水深（单位： $m$ ）的最大值为（）

二项式${\left(x+1\right)}^n\left(n\in N_{+}\right)$的展开式中$x^2$的系数为15，则$n=$（）

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（  ）

"$\sin \alpha =\cos \alpha$"是"$\cos 2\alpha =0$"的

对任意向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$，下列关系式中不恒成立的是（  ）

根据右边的图，当输入 $x$ 为 时，输出的 $y=$ （）

设$f\left(x\right)=\ln x,0<a<b$，若$p=f\left(\sqrt{ab}\right)$，$q=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$r=\frac{1}{2}\left(f\right(a)+f(b\left)\right)$，则下列关系式中正确的是（  ）

某企业生产甲、乙两种产品均需用 $A,B$ 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（  ）

设复数$z=(x-1)+yi(x,y\in R)$，若$\left|z\right|\le 1$，则$y\ge x$的概率为（  ）

对二次函数$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$（$a$为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）

中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

若抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线经过双曲线$x^2-y^2=1$的一个焦点，则$p=$．

设曲线$y=e^x$在点（0,1）处的切线与曲线$y=\frac{1}{x}(x>0)$上点$P$处的切线垂直，则$P$的坐标为．

如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为  ．

$△ABC$的内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$．向量$\stackrel{\rightharpoonup }{m}=(a,\sqrt{3}b)$与$\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(\cos A,\sin B)$平行．
（Ⅰ）求$A$；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{7},b=2$求$△ABC$的面积．

如图 ，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle BAD=\frac{\pi }{2}$ ， $AB=BC=1$ ， $AD=2$ ， 是 $AD$ 的中点， $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点．将 $△ABE$ 沿 $BE$ 折起到 $△A_{1}BE$ 的位置，如图 ．

（Ⅰ）证明： $CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$ ，求平面 $A_{1}BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 夹角的余弦值．

设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $T$ ， $T$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 $100$ 的样本进行统计，结果如下：

（Ⅰ）求 $T$ 的分布列与数学期望 $ET$ ；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$ ，原点 $O$ 到经过两点 $(c,0),(0,b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2}c$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的离心率；
（Ⅱ）如图， $AB$ 是圆 $M:(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A,B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程．

设$f_n\left(x\right)$是等比数列，$x,x^2,......,x^n$，的各项和，其中$x>0$，$n\in N,n\ge 2$
（Ⅰ）证明：函数$F_n\left(x\right)=f_n\left(x\right)-2$在$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个零点（记为$x_n$），且$x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}_n^{n+1}$；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为$g_n\left(x\right)$，比较$f_n\left(x\right)$与的大小，并加以证明．

如图， $AB$ 切 $\odot O$ 于点 ，直线 $AD$ 交 $\odot O$ 于 $D$ ， 两点， $BC\perp DE$ ，垂足为 $C$ ．

（Ⅰ）证明： $\angle CBD=\angle DBA$ ；
（Ⅱ）若 $AD=3DC$ ， $BC=\sqrt{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$($t$为参数).以原点为极点,$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系.$\odot C$的极坐标方程为$\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$．

（Ⅰ）写出$\odot C$的直角坐标方程；

（Ⅱ）$P$为直线$l$上一动点，当$P$到圆心$C$的距离最小时，求$P$的直角坐标．

已知关于 $x$的不等式 $\left|x+a\right|<b$的解集为 $\left\{x\right|2<x<4\}$．
（Ⅰ）求实数 $a,b$的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}$的最大值．