2015年全国统一高考文科数学试卷（全国Ⅰ卷）

已知集合 $A=\left\{x|x=3n+2,n\in N\right\}$, $B=\left\{6,8,10,12,14\right\}$，则集合 $A\cap B$中的元素个数为(  )

已知点 $A(0,1),B(3,2)$，向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=(-4,-3)$，则向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=$（）

已知复数 $z$满足 $(z-1)i=1+i$，则 $z=$（  ）

如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（  ）

已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为 $\frac{1}{2}$, $E$的右焦点与抛物线 $C:y^2=8x$的焦点重合, $A,B$是 $C$的准线与E的两个交点,则 $\left|AB\right|=$（）

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（  ）

已知 $\left\{a_n\right\}$是公差为 $1$的等差数列， $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，若 $S_8=4S_4$，则 $a_{10}=$（）

函数 $f\left(x\right)=\cos \left(\omega x+\phi \right)$的部分图像如图所示，则 $f\left(x\right)$的单调递减区间为（）

执行下面的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的 $n=$（）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{2}^{x-1}-2,x\le 1\\ -{\log }_2(x+1),x>1\end{array}\right.$，且 $f\left(a\right)=-3$，则 $f(6-a)=$（  ）

圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 $16+20\pi$，则 $r=$(  )

设函数 $y=f\left(x\right)$的图像与 $y=2^{x+a}$的图像关于直线 $y=-x$对称，且 $f(-2)+f(-4)=1$，则 $a=$(   )

数列 $\left\{a_n\right\}$中 $a_1=2,a_{n+1}=2a_n,S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，若 $S_n=126$，则 $n=$.

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3+x+1$的图像在点 $(1,f(1\left)\right)$的处的切线过点 $(2,7)$，则 $a=$.

若x,y满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x+y-2\le 0\\ x-2y+1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}$,则 $z=3x+y$的最大值为．

已知 $F$是双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{8}=1$的右焦点， $P$是 $C$左支上一点， $A(0,6\sqrt{6})$ ，当 $△APF$周长最小时，该三角形的面积为．

已知 $a,b,c$分别是 $∆ABC$内角 $A,B,C$的对边， ${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C$.
（Ⅰ）若 $a=b$，求 $\cos B$.
（Ⅱ）若 $B={90}^{°}$且 $a=\sqrt{2}$,求 $∆ABC$的面积.

如图四边形 $ABCD$为菱形， $G$为 $AC$与 $BD$交点， $BE\perp \mathrm{平面}ABCD$，

（Ⅰ）证明：平面 $AEC\perp$平面 $BED$；
（Ⅱ）若 $\angle ABC={120}^{°},AE\perp EC$,三棱锥 $E-ACD$的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，求该三棱锥的侧面积.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位： $t$）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 $x_i$和年销售量 $y_i\left(i=1,2,\dots ,8\right)$数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{\left(w_i-\bar{w}\right)}^2$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-y\right)$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}\left(w_i-\bar{w}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 $w_i$= $\sqrt{x_i}$_ ， _{$\bar{w}$ }= $\frac{1}{8}$ $\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{w}_i$

（Ⅰ）根据散点图判断， $y=a+bx$与 $y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量 $y$关于年宣传费 $x$的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 $z=0.2y-x$ ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（Ⅰ）当年宣传费 $x=90$时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费 $x$为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 $\left(u_1,v_1\right)$, $\left(u_2,v_2\right)$，……， $\left(u_n,v_n\right)$,其回归线 $v=\alpha +\beta u$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\beta =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}}\left(u_i-\bar{u}\right)\left(v_i-\bar{v}\right)}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}}{\left(u_i-u\right)}^2}$， $\alpha =\bar{v}-\beta u$

已知过点 $A\left(1,0\right)$且斜率为 $k$的直线 $l$与圆 $C:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1$交于 $M,N$两点.
（Ⅰ）求 $k$的取值范围；
（Ⅱ） $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}·\stackrel{\rightharpoonup }{ON}=12$,其中 $O$为坐标原点,求 $\left|MN\right|$.

设函数 $f\left(x\right)=e^{2x}-a\ln x$.
（Ⅰ）讨论 $f\left(x\right)$的导函数 $f`\left(x\right)$的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 $a>0$时 $f\left(x\right)\ge 2a+a\ln \frac{2}{a}$.

如图 $AB$是圆 $O$直径， $AC$是 $圆O$切线， $BC$交 $圆O$与点 $E$.

（Ⅰ）若 $D$为 $AC$中点，求证： $DE$是 $圆O$切线；
（Ⅱ）若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$的大小.

在直角坐标系$xOy$中，直线$C_1:x=-2$，圆$C_2:(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$，以坐标原点为极点,$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求$C_1,C_2$的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线$C_3$的极坐标方程为$\theta =\frac{\pi }{4}(\rho \in R)$，设$C_2,C_3$的交点为$M,N$，求$△C_{2}MN$的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-2\left|x-a\right|,a>0$.
（Ⅰ）当 $a=1$时求不等式 $f\left(x\right)>1$的解集；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$图像与 $x$轴围成的三角形面积大于6，求 $a$的取值范围.