2018年北京市中考数学试卷

下列几何体中，是圆柱的为 $($ 　　 $)$

实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 $($ 　　 $)$

方程组 $\left\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-8y=14\end{array}\right.$ 的解为 $($ 　　 $)$

被誉为"中国天眼"的世界上最大的单口径球面射电望远镜 $\mathit{FAST}$ 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 $7140m^2$ ，则 $\mathit{FAST}$ 的反射面总面积约为 $($ 　　 $)$

若正多边形的一个外角是 $60°$ ，则该正多边形的内角和为 $($ 　　 $)$

如果 $a-b=2\sqrt{3}$ ，那么代数式 $(\frac{a^2+b^2}{2a}-b)·\frac{a}{a-b}$ 的值为 $($ 　　 $)$

跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 $y$ （单位： $m)$ 与水平距离 $x$ （单位： $m)$ 近似满足函数关系 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ．如图记录了某运动员起跳后的 $x$ 与 $y$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 $($ 　　 $)$

如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为 $(0,0)$ ，表示广安门的点的坐标为 $(-6,-3)$ 时，表示左安门的点的坐标为 $(5,-6)$ ；

②当表示天安门的点的坐标为 $(0,0)$ ，表示广安门的点的坐标为 $(-12,-6)$ 时，表示左安门的点的坐标为 $(10,-12)$ ；

③当表示天安门的点的坐标为 $(1,1)$ ，表示广安门的点的坐标为 $(-11,-5)$ 时，表示左安门的点的坐标为 $(11,-11)$ ；

④当表示天安门的点的坐标为 $(1.5,1.5)$ ，表示广安门的点的坐标为 $(-16.5,-7.5)$ 时，表示左安门的点的坐标为 $(16.5,-16.5)$ ．

上述结论中，所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

如图所示的网格是正方形网格，$\angle \mathit{BAC}$　　$\angle \mathit{DAE}$．（填“$>$”，“ $=$”或“$<$” $)$

若$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是　　．

用一组$a$，$b$，$c$的值说明命题“若$a<b$，则$\mathit{ac}<\mathit{bc}$”是错误的，这组值可以是$a=$　　，$b=$　　，$c=$　　．

如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在$\odot O$上，$\widehat{\mathit{CB}}=\widehat{\mathit{CD}}$，$\angle \mathit{CAD}=30°$，$\angle \mathit{ACD}=50°$，则$\angle \mathit{ADB}=$　　．

如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$E$是边$\mathit{AB}$的中点，连接$\mathit{DE}$交对角线$\mathit{AC}$于点$F$，若$\mathit{AB}=4$，$\mathit{AD}=3$，则$\mathit{CF}$的长为　　．

从甲地到乙地有$A$，$B$，$C$三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

早高峰期间，乘坐　　（填“$A$”，“ $B$”或“$C$” $)$线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．

某公园划船项目收费标准如下：

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低　　．

2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第　　．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线$l$及直线$l$外一点$P$．

求作：直线$\mathit{PQ}$，使得$\mathit{PQ}//l$．

作法：如图，

①在直线$l$上取一点$A$，作射线$\mathit{PA}$，以点$A$为圆心，$\mathit{AP}$长为半径画弧，交$\mathit{PA}$的延长线于点$B$；

②在直线$l$上取一点$C$（不与点$A$重合），作射线$\mathit{BC}$，以点$C$为圆心，$\mathit{CB}$长为半径画弧，交$\mathit{BC}$的延长线于点$Q$；

③作直线$\mathit{PQ}$．所以直线$\mathit{PQ}$就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：$\because \mathit{AB}=$　　，$\mathit{CB}=$　　，

$\therefore \mathit{PQ}//l($　　$)$（填推理的依据）．

计算 $4\sin 45°+{(\pi -2)}^0-\sqrt{18}+|-1|$

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3(x+1)>x-1\\ \frac{x+9}{2}>2x\end{array}\right.$

关于$x$的一元二次方程$a{x}^2+\mathit{bx}+1=0$．

（1）当$b=a+2$时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a$，$b$的值，并求此时方程的根．

如图，在四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}//\mathit{DC}$，$\mathit{AB}=\mathit{AD}$，对角线$\mathit{AC}$，$\mathit{BD}$交于点$O$，$\mathit{AC}$平分$\angle \mathit{BAD}$，过点$C$作$\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$交$\mathit{AB}$的延长线于点$E$，连接$\mathit{OE}$．

（1）求证：四边形$\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若$\mathit{AB}=\sqrt{5}$，$\mathit{BD}=2$，求$\mathit{OE}$的长．

如图，$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，过$\odot O$外一点$P$作$\odot O$的两条切线$\mathit{PC}$，$\mathit{PD}$，切点分别为$C$，$D$，连接$\mathit{OP}$，$\mathit{CD}$．

（1）求证：$\mathit{OP}\perp \mathit{CD}$；

（2）连接$\mathit{AD}$，$\mathit{BC}$，若$\angle \mathit{DAB}=50°$，$\angle \mathit{CBA}=70°$，$\mathit{OA}=2$，求$\mathit{OP}$的长．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象$G$经过点$A(4,1)$，直线$l:y=\frac{1}{4}x+b$与图象$G$交于点$B$，与$y$轴交于点$C$．

（1）求$k$的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象$G$在点$A$，$B$之间的部分与线段$\mathit{OA}$，$\mathit{OC}$，$\mathit{BC}$围成的区域（不含边界）为$W$．

①当$b=-1$时，直接写出区域$W$内的整点个数；

②若区域$W$内恰有4个整点，结合函数图象，求$b$的取值范围．

如图，$Q$是$\widehat{\mathit{AB}}$与弦$\mathit{AB}$所围成的图形的内部的一定点，$P$是弦$\mathit{AB}$上一动点，连接$\mathit{PQ}$并延长交$\widehat{\mathit{AB}}$于点$C$，连接$\mathit{AC}$．已知$\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，设$A$，$P$两点间的距离为$\mathit{xcm}$，$P$，$C$两点间的距离为$y_1\mathit{cm}$，$A$，$C$两点间的距离为$y_2\mathit{cm}$．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数$y_1$，$y_2$随自变量$x$的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量$x$的值进行取点、画图、测量，分别得到了$y_1$，$y_2$与$x$的几组对应值；

（2）在同一平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，描出补全后的表中各组数值所对应的点$(x,y_1)$，$(x,y_2)$，并画出函数$y_1$，$y_2$的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当$\mathit{\Delta APC}$为等腰三角形时，$\mathit{AP}$的长度约为　　$\mathit{cm}$．

某年级共有300名学生．为了解该年级学生$A$，$B$两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

$a$．$A$课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：$40⩽x<50$，$50⩽x<60$，$60⩽x<70$，$70⩽x<80$，$80⩽x<90$，$90⩽x⩽100):$

$b$．$A$课程成绩在$70⩽x<80$这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

$c$．$A$，$B$两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中$m$的值；

（2）在此次测试中，某学生的$A$课程成绩为76分，$B$课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是　　（填“$A$”或“$B$” $)$，理由是　　，

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计$A$课程成绩超过75.8分的人数．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，直线$y=4x+4$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}-3a$经过点$A$，将点$B$向右平移5个单位长度，得到点$C$．

（1）求点$C$的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段$\mathit{BC}$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围．

如图，在正方形$\mathit{ABCD}$中，$E$是边$\mathit{AB}$上的一动点（不与点$A$、$B$重合），连接$\mathit{DE}$，点$A$关于直线$\mathit{DE}$的对称点为$F$，连接$\mathit{EF}$并延长交$\mathit{BC}$于点$G$，连接$\mathit{DG}$，过点$E$作$\mathit{EH}\perp \mathit{DE}$交$\mathit{DG}$的延长线于点$H$，连接$\mathit{BH}$．

（1）求证：$\mathit{GF}=\mathit{GC}$；

（2）用等式表示线段$\mathit{BH}$与$\mathit{AE}$的数量关系，并证明．

对于平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中的图形$M$，$N$，给出如下定义：$P$为图形$M$上任意一点，$Q$为图形$N$上任意一点，如果$P$，$Q$两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形$M$，$N$间的“闭距离“，记作$d(M,N)$．

已知点$A(-2,6)$，$B(-2,-2)$，$C(6,-2)$．

（1）求$d$（点$O$，$\mathit{\Delta ABC})$；

（2）记函数$y=\mathit{kx}(-1⩽x⩽1,k\ne 0)$的图象为图形$G$．若$d(G,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出$k$的取值范围；

（3）$\odot T$的圆心为$T(t,0)$，半径为1．若$d(\odot T,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出$t$的取值范围．