2020年湖南省长沙市中考数学试卷

${(-2)}^3$ 的值等于 $($ 　　 $)$

下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

为了将"新冠"疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以"三湘四水，杜鹃花开"为设计理念，塑造出"杜鹃花开"的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为 ${10}^6{m}^3$ 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 $v$ （单位： $m^3/$ 天）与完成运送任务所需时间 $t$ （单位：天）之间的函数关系式是 $($ 　　 $)$

从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为 $30°$ 时，船离灯塔的水平距离是 $($ 　　 $)$

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x+1⩾-1\\ \frac{x}{2}<1\end{array}\right.$ 的解集在数轴上表示正确的是 $($ 　　 $)$

一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是 $($ 　　 $)$

2020年3月14日，是人类第一个"国际数学日"．这个节日的昵称是" $\pi \left(\mathit{Day}\right)$ "．国际数学日之所以定在3月14日，是因为"3.14"是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．

其中表述正确的序号是 $($ 　　 $)$

如图：一块直角三角板的 $60°$ 角的顶点 $A$ 与直角顶点 $C$ 分别在两平行线 $\mathit{FD}$ 、 $\mathit{GH}$ 上，斜边 $\mathit{AB}$ 平分 $\angle \mathit{CAD}$ ，交直线 $\mathit{GH}$ 于点 $E$ ，则 $\angle \mathit{ECB}$ 的大小为 $($ 　　 $)$

随着 $5G$ 网络技术的发展，市场对 $5G$ 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型 $5G$ 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产 $x$ 万件产品，依题意得 $($ 　　 $)$

"闻起来臭，吃起来香"的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把"焦脆而不糊"的豆腐块数的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，"可食用率" $P$ 与加工煎炸时间 $t$ （单位：分钟）近似满足的函数关系为： $P=a{t}^2+\mathit{bt}+c(a\ne 0$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 $($ 　　 $)$

长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：

这次调查中的众数和中位数分别是　　，　　．

某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给$A$、$B$、$C$三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：

第一步，$A$同学拿出二张扑克牌给$B$同学；

第二步，$C$同学拿出三张扑克牌给$B$同学；

第三步，$A$同学手中此时有多少张扑克牌，$B$同学就拿出多少张扑克牌给$A$同学．

请你确定，最终$B$同学手中剩余的扑克牌的张数为　　．

已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为　　．

如图，点$P$在以$\mathit{MN}$为直径的半圆上运动（点$P$不与$M$，$N$重合），$\mathit{PQ}\perp \mathit{MN}$，$\mathit{NE}$平分$\angle \mathit{MNP}$，交$\mathit{PM}$于点$E$，交$\mathit{PQ}$于点$F$．

（1）$\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PQ}}+\frac{\mathit{PE}}{\mathit{PM}}=$　　．

（2）若$P{N}^2=\mathit{PM}·\mathit{MN}$，则$\frac{\mathit{MQ}}{\mathit{NQ}}=$　　．

计算：$|-3|-{(\sqrt{10}-1)}^0+\sqrt{2}\cos 45°+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}$．

先化简再求值：$\frac{x+2}{x^2-6x+9}·\frac{x^2-9}{x+2}-\frac{x}{x-3}$，其中$x=4$．

人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：$\angle \mathit{AOB}$．

求作：$\angle \mathit{AOB}$的平分线．

作法：（1）以点$O$为圆心，适当长为半径画弧，交$\mathit{OA}$于点$M$，交$\mathit{OB}$于点$N$．

（2）分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长为半径画弧，两弧在$\angle \mathit{AOB}$的内部相交于点$C$．

（3）画射线$\mathit{OC}$，射线$\mathit{OC}$即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．（填序号）

①$\mathit{SSS}$②$\mathit{SAS}$③$\mathit{AAS}$④$\mathit{ASA}$

（2）请你证明$\mathit{OC}$为$\angle \mathit{AOB}$的平分线．

2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

（1）这次调查活动共抽取　   　人；

（2）$m=$　　，$n=$　　；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．

如图，$\mathit{AB}$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$\mathit{AD}$与过$C$点的直线互相垂直，垂足为$D$，$\mathit{AC}$平分$\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证：$\mathit{DC}$为$\odot O$的切线．

（2）若$\mathit{AD}=3$，$\mathit{DC}=\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径．

在矩形$\mathit{ABCD}$中，$E$为$\mathit{DC}$边上一点，把$\mathit{\Delta ADE}$沿$\mathit{AE}$翻折，使点$D$恰好落在$\mathit{BC}$边上的点$F$．

（1）求证：$\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若$\mathit{AB}=2\sqrt{3}$，$\mathit{AD}=4$，求$\mathit{EC}$的长；

（3）若$\mathit{AE}-\mathit{DE}=2\mathit{EC}$，记$\angle \mathit{BAF}=\alpha$，$\angle \mathit{FAE}=\beta$，求$\tan \alpha +\tan \beta$的值．

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“$H$函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“$H$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于$x$的函数中，是“$H$函数”的，请在相应题目后面的括号中打“$\surd$”，不是“$H$函数”的打“$\times$”．

①$y=2x($　　$)$；

②$y=\frac{m}{x}(m\ne 0)($　　$)$；

③$y=3x-1($　　$)$．

（2）若点$A(1,m)$与点$B(n,-4)$是关于$x$的“$H$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的一对“$H$点”，且该函数的对称轴始终位于直线$x=2$的右侧，求$a$，$b$，$c$的值或取值范围．

（3）若关于$x$的“$H$函数” $y=a{x}^2+2\mathit{bx}+3c(a$，$b$，$c$是常数）同时满足下列两个条件：①$a+b+c=0$，②$(2c+b-a)(2c+b+3a)<0$，求该“$H$函数”截$x$轴得到的线段长度的取值范围．

如图，半径为4的$\odot O$中，弦$\mathit{AB}$的长度为$4\sqrt{3}$，点$C$是劣弧$\widehat{\mathit{AB}}$上的一个动点，点$D$是弦$\mathit{AC}$的中点，点$E$是弦$\mathit{BC}$的中点，连接$\mathit{DE}$、$\mathit{OD}$、$\mathit{OE}$．

（1）求$\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当点$C$沿着劣弧$\widehat{\mathit{AB}}$从点$A$开始，逆时针运动到点$B$时，求$\mathit{\Delta ODE}$的外心$P$所经过的路径的长度；

（3）分别记$\mathit{\Delta ODE}$，$\mathit{\Delta CDE}$的面积为$S_1$，$S_2$，当$S_1^2-S_2^2=21$时，求弦$\mathit{AC}$的长度．