2017年四川省遂宁市中考数学试卷

$-2$的倒数为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $-\frac{1}{2}$C． $-2$D．2

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． $a·a^4=a^4$B． ${\left(a^2\right)}^3=a^6$

C． ${\left(a^2{b}^3\right)}^2=a^4{b}^5$D． $a^6÷a^2=a^3(a\ne 0)$

我市某地区发现了 $H7N9$禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病毒防御工作，使 $H7N9$禽流感病毒得到了很好的控制．病毒 $H7N9$的直径为30纳米 $(1$纳米 $={10}^{-9}$米）．将30纳米用科学记数法表示为 $($　　 $)$米．

A． $30\times {10}^{-9}$B． $3\times {10}^{-9}$C． $0.3\times {10}^{-7}$D． $3\times {10}^{-8}$

点 $A(a,b)$关于 $x$轴对称的点 $A\text{'}$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(a,-b)$B． $(-a,b)$C． $(-a,-b)$D． $(b,a)$

如图是某几何体的三视图，该几何体是 $($　　 $)$

A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱

若点 $A(-6,y_1)$， $B(-2,y_2)$， $C(3,y_3)$在反比例函数 $y=\frac{a^2+1}{x}(a$为常数）的图象上，则 $y_1$， $y_2$， $y_3$大小关系为 $($　　 $)$

A． $y_1>y_2>y_3$B． $y_2>y_3>y_1$C． $y_3>y_2>y_1$D． $y_3>y_1>y_2$

顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 $($　　 $)$

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

关于 $x$的一元二次方程 $(a-1)x^2+2x+1=0$有两个实数根，则 $a$的取值范围为 $($　　 $)$

A． $a⩽2$   B． $a<2$   C． $a⩽2$且 $a\ne 1$   D． $a<2$且 $a\ne 1$

如图， $\odot O$的半径为6， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$，若 $\angle \mathit{BAC}$与 $\angle \mathit{BOC}$互补，则线段 $\mathit{BC}$的长为 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．3C． $6\sqrt{3}$D．6

函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与函数 $y=x$的图象如图所示，有以下结论：① $b^2-4c>0$；② $b+c=0$；③ $b<0$；④方程组 $\left\{\begin{array}{c}y=x^2+\mathit{bx}+c\\ y=x\end{array}\right.$的解为 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ y_1=1\end{array}\right.$， $\left\{\begin{array}{c}{x}_2=3\\ y_2=3\end{array}\right.$；⑤当 $1<x<3$时， $x^2+(b-1)x+c>0$．其中正确的是 $($　　 $)$

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤

函数 $y=\frac{2}{x-1}$中，自变量 $x$的取值范围是　　．

在一个不透明的盒子中装有 5 个红球， 2 个黄球， 3 个绿球， 这些球除颜色外没有任何其他区别， 现从这个盒子中随机摸出一个球， 摸到红球的概率为　　．

已知 $x_1$， $x_2$是方程 $x^2-3x-1=0$的两根，则 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$　　．

如图，直线 $y=\frac{1}{3}x+1$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点， $\mathit{\Delta BOC}$与△ $B\text{'}O\text{'}C\text{'}$是以点 $A$为位似中心的位似图形，且相似比为 $1:2$，则点 $B\text{'}$的坐标为　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $E$、 $F$分别从点 $A$、点 $D$以相同速度同时出发，点 $E$从点 $A$向点 $D$运动，点 $F$从点 $D$向点 $C$运动，点 $E$运动到 $D$点时， $E$、 $F$停止运动．连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AF}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．有下列结论：① $\mathit{AF}\perp \mathit{BE}$；②点 $G$随着点 $E$、 $F$的运动而运动，且点 $G$的运动路径的长度为 $\pi$；③线段 $\mathit{DG}$的最小值为 $2\sqrt{5}-2$；④当线段 $\mathit{DG}$最小时， $\mathit{\Delta BCG}$的面积 $S=8+\frac{8}{5}\sqrt{5}$．其中正确的命题有　　．（填序号）

计算： $\sqrt[3]{8}+{(-\frac{1}{2})}^{-1}-2\cos 60°-{(\pi -2017)}^0+|1-\sqrt{4}|$．

有这样一道题“求 $\frac{a^2+a}{a^2-1}-\frac{a+1}{a^2+2a+1}÷\frac{a-1}{a+1}$的值，其中 $a=2017$”，“小马虎”不小心把 $a=2017$错抄成 $a=2007$，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．

解方程： $\frac{1}{x-2}+3=\frac{1-x}{2-x}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$、 $F$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{CE}$．

求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：

对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计图表，步数分布统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）填空： $m=$　　， $n=$　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在　　组；

（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．

2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．

（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？

（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？

（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输花费500元 $/$次，一辆小型渣土运输车运输花费300元 $/$次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？

关于三角函数有如下公式： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$， $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$， $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }(1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }(1+\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

如： $\tan 105°=\tan (45°+60°)=\frac{\tan 45°+\tan 60°}{1-\tan 45°\tan 60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：

如图，两座建筑物 $\mathit{AB}$和 $\mathit{DC}$的水平距离 $\mathit{BC}$为24米，从点 $A$测得点 $D$的俯角 $\alpha =15°$，测得点 $C$的俯角 $\beta =75°$，求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．

如图，直线 $y_1=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$与双曲线 $y_2=\frac{k}{x}(k\ne 0)$相交于 $A(-1,2)$和 $B(2,b)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求 $m$， $n$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta BCP}$与 $\mathit{\Delta OCD}$相似？若存在求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，点 $B$在 $\odot O$上，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $A$， $A{B}^2=\mathit{AD}·\mathit{AC}$， $\mathit{OE}//\mathit{BD}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{OE}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\cos A=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{OF}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，经过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,3)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $M$的坐标；

（2）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$， $N$为抛物线上的点且在第四象限，当 $S_{\mathit{\Delta NBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$时，求 $N$点的坐标；

（3）在（2）问的条件下，过点 $C$作直线 $l//x$轴，动点 $P(m,3)$在直线 $l$上，动点 $Q(m,0)$在 $x$轴上，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PQ}$、 $\mathit{NQ}$，当 $m$为何值时， $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$最小，并求出 $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$的最小值．