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2018年全国统一高考数学试卷(上海卷)

行列式 | 4 1 2 5 | 的值为________。   

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双曲线 x 2 4 - y 2 = 1 的渐近线方程为________。   

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1 + x 7 的二项展开式中, x 2 项的系数为________。(结果用数值表示)    

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设常数 a R ,函数 f ( x ) = log 2 ( x + a ) ,若 f x 的反函数的图像经过点 3 1 ,则 a = ________。    

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已知复数z满足 1 + i z = 1 - 7 i (i是虚数单位),则 z =________。    

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记等差数列 { a n } 的前n项和为 S n ,若 a = 0 , a 6 + a 7 = 14 ,则 S 7 = ________。

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已知 α - 2 - 1 - 1 2 1 2 1 2 3 ,若幂函数 f ( x ) = x a 为奇函数,且在 0 + 上递减,则 a = ________    

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在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且 E F = 2 ,则 A E · B F 的最小值为________    

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有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是________(结果用最简分数表示)   

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设等比数列 a n 的通项公式为 a n = q n - 1 n N * ,前n项和为S n。若 lim n S n a n + 1 = 1 2 ,则q=________    

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已知常数 a > 0 ,函数 f ( x ) = 2 x 2 x + ax 的图像经过点 p ( p 6 5 ) Q ( q - 1 5 ) ,若 2 p + q = 36 pq ,则 a =________    

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已知实数 x 1 x 2 y 1 y 2 满足: x 1 2 + y 1 2 = 1 x 2 2 + y 2 2 = 1 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1 2 ,则 x 1 + y 1 - 1 2 + x 2 + y 2 - 1 2 的最大值为________    

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设P是椭圆 x ² 5 + y ² 3 = 1 上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )            

A.

2 2

B.

2 3

C.

2 5

D.

4 2

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已知 a R ,则" a > 1 "是" 1 a < 1 "的( )            

A.

充分非必要条件

B.

必要非充分条件

C.

充要条件

D.

既非充分又非必要条件

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《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 A A 1 是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以 A A 1 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )

image.png

A.

4

B.

8

C.

12

D.

16

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设D是含数1的有限实数集, f x 是定义在D上的函数,若 f x 的图像绕原点逆时针旋转 π 6 后与原图像重合,则在以下各项中, f 1 的可能取值只能是( )            

A.

3

B.

3 2

C.

3 3

D.

0

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已知圆锥的顶点为 P ,底面圆心为 O ,半径为 2

image.png

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设 P O = 4 O A O B 是底面半径,且 A O B = 90 ° ,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.

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设常数 a R ,函数   f x = asin 2 x + 2 co s 2 x    

(1)若 f x 为偶函数,求 a 的值;    

(2)若 f π 4 = 3 + 1 ,求方程 f x = 1 - 2 在区间 - π π 上的解。

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某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中 x % ( 0 < x < 100 ) 的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

f ( x ) = { 30 , 0 < x 30 2 x + 1800 x - 90 , 30 < x < 100 (单位:分钟),

而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?    

(2)求该地上班族S的人均通勤时间 g x 的表达式;讨论 g x 的单调性,并说明其实际意义。

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设常数 t > 2 ,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线 l x = t ,曲线 Γ y ² = 8 x 0 x t y 0  , l 与x轴交于点A,与 Γ 交于点B,P、Q分别是曲线 Γ 与线段AB上的动点。    

(1)用t表示点B到点F的距离;    

(2)设t=3, FQ = 2 ,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;    

(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在 Γ 上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由。    

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给定无穷数列 { a n } ,若无穷数列{b n}满足:对任意 n N * ,都有 | b n - a n | 1 ,则称 { b n } { a n } "接近"。    

(1)设 { a n } 是首项为1,公比为 1 2 的等比数列, b n = a n + 1 + 1 n N * ,判断数列 { b n } 是否与 { a n } 接近,并说明理由;    

(2)设数列 { a n } 的前四项为: a 1 =1, a 2 =2, a 3 =4, a 4 =8, b n 是一个与 { a n } 接近的数列,记集合M={x|x=b i, i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;    

(3)已知 { a n } 是公差为d的等差数列,若存在数列{b n}满足:{b n}与 { a n } 接近,且在b₂-b₁,b₃-b₂,…b 201-b 200中至少有100个为正数,求d的取值范围。   

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