2013年全国统一高考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）

已知集合 $A=\left\{x|x^2-2x>0\right\}$， $B=｛x|－\sqrt{5}＜x＜\sqrt{5}｝$，则（）

若复数 $z$满足 $(3-4i)z=\left|4+3i\right|$，则 $z$的虚部为 (  )

为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(    )

已知双曲线 $C$: $\frac{x^2}{a^2}$－ $\frac{y^2}{b^2}$＝1( $a$＞0， $b$＞0)的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，则 $C$的渐近线方程为（）

执行下面的程序框图，如果输入的 $t\in \left[-1,3\right]$，则输出的 $s$属于(   )

如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 $cm$，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 $cm$，如果不计容器的厚度，则球的体积为(   )

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$， $S_{m-1}=-2,S_m=0,S_{m+1}=3$，则 $m=$(   )

某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）

设 $m$为正整数， ${\left(x+y\right)}^{2m}$展开式的二项式系数的最大值为 $a$， ${\left(x+y\right)}^{2m+1}$展开式的二项式系数的最大值为 $b$，若 $13a=7b$，则 $m=$（）

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}$＋ $\frac{y^2}{b^2}$＝1 $\left(a>b>0\right)$的右焦点为 $F\left(3,0\right)$，过点F的直线交椭圆于 $A,B$两点。若 $AB$的中点坐标为 $\left(1,-1\right)$，则 $E$的方程为&（）

已知函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-x^2+2x,x\le 0\\ \ln (x+1),x>0\end{array}$，若 $\left|f\left(x\right)\right|\ge ax$，则 $a$的取值范围是(   )

设 $∆A_n{B}_n{C}_n$的三边长分别为 $a_n,b_n,c_n$, $∆A_n{B}_n{C}_n$的面积为 $S_n,n=1,2,3,\cdots$.若 $b_1＞c_1,b_1＋c_1＝2a_1,a_{n+1}＝a_n,b_{n+1}＝\frac{c_n+a_n}{2},c_{n+1}＝\frac{b_n+a_n}{2}$，则（）

已知两个单位向量 $a,b$的夹角为 ${60}^{°}$， $c=ta+(1-t)b$，若 $b·c=0$，则 $t=$.

若数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n=\frac{2}{3}{a}_n+\frac{1}{3}$，则数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式是 $a_n=$.

设当 $x=\theta$时，函数 $f\left(x\right)=\sin x-2\cos x$取得最大值，则 $\cos \theta$=

若函数 $f\left(x\right)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+ax+b\right)$的图像关于直线 $x=-2$对称，则 $f\left(x\right)$的最大值是.

如图，在 $∆ABC$中， $\angle ABC={90}^{°},AB=\sqrt{3},BC=1,P$为 $∆ABC$内一点， $\angle BPC={90}^{°}$.

(1)若 $PB=\frac{1}{2}$,求 $PA$；
(2)若 $\angle APB={150}^{°}$，求 $\tan \angle PBA$.

如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中 $CA=CB$， $AB=A{A}_1$， $\angle BA{A}_1={60}^{°}$.

（Ⅰ）证明 $AB\perp A_{1}C$;
（Ⅱ）若平面 $ABC\perp$平面 $A{A}_1{B}_{1}B$， $AB=CB$，求直线 $A_{1}C$与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$所成角的正弦值。

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 $n$。如果 $n$=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n$=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$（单位：元），求 $X$的分布列及数学期望。

已知圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$，圆 $N:(x-1{)}^2+y^2=9$，动圆 $P$与圆 $M$外切并与圆 $N$内切，圆心 $P$的轨迹为曲线 $C$.
（Ⅰ）求 $C$的方程；
（Ⅱ）l是与圆 $P$，圆 $M$都相切的一条直线，l与曲线 $C$交于 $A,B$两点，当圆 $P$的半径最长时，求 $\left|AB\right|$.

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b,g\left(x\right)=e^x(cx+d)$，若曲线 $y=f\left(x\right)$和曲线 $y=g\left(x\right)$都过点 $P(0,2)$，且在点 $P$处有相同的切线 $y=4x+2$.

（Ⅰ）求 $a,b,c,d$的值
（Ⅱ）若 $x\ge -2$时， $f\left(x\right)\le kg\left(x\right)$，求 $k$的取值范围。

【选修4-1：几何证明选讲】

如图，直线 $AB$为圆的切线，切点为 $B$，点 $C$在圆上， $\angle ABC$的角平分线BE交圆于点 $E$， $DB$垂直 $BE$交圆于 $D$.

（Ⅰ）证明： $DB=DC$；
（Ⅱ）设圆的半径为1， $BC=\sqrt{3}$，延长 $CE$交 $AB$于点 $F$，求 $△BCF$外接圆的半径.

已知曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=5+5sint\end{array}\right.$（ $t$为参数），以坐标原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$。
（Ⅰ）把 $C_1$的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 $C_1$与 $C_2$交点的极坐标 $(\rho ⩾0,0⩽\theta ⩽2\pi )$

已知函数 $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|+\left|2x+a\right|,g\left(x\right)=x+3$.
（Ⅰ）当 $a=-2$时，求不等式 $f\left(x\right)<g\left(x\right)$的解集；
（Ⅱ）设 $a>-1$，且当 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2})$时， $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$,求 $a$的取值范围.