江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测数学试卷

若 （其中为虚数单位），则的值是   ▲   ．

从集合中任取两个不同的元素，则事件“乘积”发生的概率为
   ▲   ．

函数的单调递增区间是    ▲    ．

某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出
了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于
20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，
则其中支出在元的同学有   ▲   人．

已知函数 ，则   ▲   ．

如图所示的算法流程框图中，若输入，则最后
输出的的值是   ▲   ．

已知数列的前项的和为，若,则
的值为   ▲   ．

已知定义在上的奇函数满足，且
时，，则的值为   ▲   ．

设、是夹角为的两个单位向量，已知，
，(为实数) ．若△是以为直角顶点的直角三角形，则取值的集合为   ▲   ．

在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为4，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为   ▲   ．

给出下列四个命题：
⑴“直线∥直线”的必要不充分条件是“平行于所在的平面”；
⑵“直线平面”的充要条件是“垂直于平面内的无数条直线”；
⑶“平面∥平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；
⑷“平面⊥平面”的充分条件是“有一条与平行的直线垂直于”．
上面命题中，所有真命题的序号为   ▲   ．

已知实数满足，则的最大值为   ▲   ．

在平面直角坐标系中，若与点的距离为1且与点的距离为3的直线恰有两条，则实数的取值范围为   ▲   ．

若对任意的,均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“折中函数”．已知函数
，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的取值范围为   ▲   ．

（本小题满分14分）
在△中，角、、的对边分别为、、，且．
⑴求的值；
⑵若，求及的值．

（本小题满分14分）
如图，直四棱柱的底面是菱形，,点、分别是上、下底面菱形的对角线的交点．⑴求证：∥平面；⑵求点到平面的距离．

（本小题满分14分）
某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元，为保证有一定的利润，公司决定纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．
根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为（元），年销售量为（万件），平均每件纪念品的利润为（元）．
⑴求年销售量为关于销售单价的函数关系式；
⑵该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价为多少时，平均每件纪念品的利润最大？

（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为
（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若时，，求实数；
⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
 

（本小题满分16分）
已知数列满足，当，时，．
⑴求数列的通项公式；
⑵是否存在，使得时，不等式对任意实数恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
⑶在轴上是否存在定点，使得三点、、（其中、、是互不相等的正整数且）到定点的距离相等？若存在，求出点及正整数、、；若不存在，说明理由．

（本小题满分16分）
已知为实数，函数，函数，
令函数．
⑴若，求函数的极小值；
⑵当时，解不等式；
⑶当时，求函数的单调区间．