2011年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

$i$是虚数单位，复数 $\frac{1-3i}{1-i}$=（）

设 $x,y\in R$则" $x\ge 2$且 $y\ge 2$"是" $x^2+y^2\ge 4$"的（）

阅读下图的程序框图,运行相应的程序,则输出 $i$的值为

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列，其公差为 $-2$，且 $a_7$是 $a_3$与 $a_9$的等比中项， $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和, $n\in N^{*}$,则 $S_{10}$的值为（）.

在 $(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}{)}^6$的二项展开式中， $x^2$的系数为(   )

如图，在 $△ABC$中， $D$是边 $AC$上的点，且 $AB=CD$, $2AB=\sqrt{3}BD$, $BC=2BD$,

则 $\sin C$的值为（  ）

已知 $a=5^{{\log }_{2}3.4},b=5^{{\log }_{4}3.5},c={\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{3}0.3}$则（）

对实数 $a$与 $b$,定义新运算" $\otimes$": $a\otimes b=\left\{\begin{array}{l}a,a-b\le 1\\ b,a-b>1\end{array}\right.$.设函数 $f\left(x\right)=\left(x^2-2\right)\left(x-x^2\right),x\in R$若函数 $y=f\left(x\right)-c$的图像与 $x$轴恰有两个公共点,则实数 $c$的取值范围是（）

一支田径队有男运动员48人,女运动员36人，若用分层抽样的办法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$ ）,则这个几何体的体积为   $m^3$ .

$11,\mathrm{已知抛物线}C\mathrm{的参数方程为}\left\{\begin{array}{l}x=8t^2\\ y=8t\end{array}\right.（t\mathrm{为参数})，\mathrm{若斜率为}1\mathrm{的直线经过抛物线}C\mathrm{的焦点}，\mathrm{且与圆}(x-4{)}^2+y^2=r^2(r>0)\mathrm{相切}，则r=$

如图，已知圆中两条弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ ， $E$ 是 $AB$ 延长线上一点，且 $DF=CF=\sqrt{2}$ ， $AF:FB:BE=4:2:1$ ,若 $CE$ 与圆相切，则线段 $CE$ 的长为   .

已知集合 $A=\left\{\overline{)x\in R}\left|x+3\right|+\left|x-4\right|\le 9\right\},B=\left\{\overline{)x\in R}x=4t+\frac{1}{t},t\in \left(0,+\infty \right)\right\}$，则集合 $A\cap B=$.

已知直角梯形 $ABCD$中, $AD\parallel BC,\angle ADC={90}^{°},AD=2,BC=1,P$是腰 $DC$上的动点,则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{PA}+3\stackrel{\rightharpoonup }{PB}\right|$的最小值为.

已知函数 $f\left(x\right)=\tan \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，若 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\cos \left(2\alpha \right)$,求 $\alpha$的大小．

如图，在三棱柱 $ABC-A_{1}B1C_1$ 中， $H$ 是正方形 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的中心， $A{A}_1=2\sqrt{2}$ ， $C_{1}H\perp \mathrm{平面}A{A}_1{B}_{1}B$ ，且 $C_{1}H=\sqrt{5}$ ，

（Ⅰ）求异面直线 $AC$ 与 $A_1{B}_1$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $A-A_1{C}_1-B_1$ 的正弦值；

（Ⅲ）设 $N$ 为棱 $B_1{C}_1$ 的中点，点 $M\mathrm{在平面}A{A}_1{B}_{1}B$ 内，且 $MN\perp \mathrm{平面}{A}_1{B}_{1}C$ ，求线段 $BM$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $P(a,b)(a>b>0)$为动点， $F_1,F_2$分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点．已知△ $F_{1}P{F}_2$为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 $e$；
（Ⅱ）设直线 $P{F}_2$与椭圆相交于 $A,B$两点， $M$是直线 $P{F}_2$上的点，满足 $\stackrel{\to }{AM}·\stackrel{\to }{BM}=-2$，求点 $M$的轨迹方程．

已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=\ln x-a{x}^2,x>0$.( $f\left(x\right)$的图像连续不断)

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（Ⅱ）当 $a=\frac{1}{8}$时，证明：存在 $x_0\in \left(2,+\infty \right)$，使 $f\left(x_0\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$；

（Ⅲ）若存在均属于区间 $\left[1,3\right]$的 $\alpha ,\beta$，且 $\beta -\alpha \ge 1$，使 $f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$，证明 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5}\le a\le \frac{\ln 2}{3}$.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足： $b_n{a}_n+a_{n+1}+b_{n+1}{a}_{n+2},b_n=\frac{3+{\left(-1\right)}^n}{2},n\in N^{+}$， 且 $a_1=2,a_2=4$．
（Ⅰ）求 $a_3,a_4,a_5$的值；
（Ⅱ）设 $c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1},n\in N^{+}$，证明： $\left\{c_n\right\}$是等比数列；
（Ⅲ）设 $S_k=a_2+a_4+\dots +a_{2k},k\in N^{+}$,证明： $\underset{K=1}{\overset{4n}{\sum }}\frac{S_k}{a_k}<\frac{7}{6}\left(n\in N^{+}\right)$．