全国普通高等学校招生统一考试理科数学

$i$是虚数单位，复数 $\frac{7+i}{3+4i}=$(  )

设变量$x$，$y$满足约束条件$\{\begin{array}{c}x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\\ y\ge 1\end{array}$则目标函数$z=x+2y$的最小值为

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的$S$的值为

函数$f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4\right)$的单调递增区间是（）

已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的一条渐近线平行于直线$l:y=2x+10$，双曲线的一个焦点在直线$l$上，则双曲线的方程为

如图，$△ABC$是圆的内接三角形，$\angle BAC$的平分线交圆于点$D$，交$BC$于点$E$，过点$B$的圆的切线与$AD$的延长线交于点$F$．在上述条件下，给出下列四个结论：
$\overline{)1}BD\mathrm{平分}\angle CBF;\overline{)2}F{B}^2=FD·F·A;\overline{)3}AE·CE=BE·DE;\overline{)4}AF·BD=AB·BF.$则所有正确结论的序号是

设$a,b\in R$，则|"$a>b$"是"$a\left|a\right|>b\left|b\right|$"的

已知菱形 $ABCD$的边长为2， $\angle BAD={120}^{°}$，点 $E,F$分别在边 $BC,DC$上， $BE=\lambda BC$， $DF=\mu DC$．若 $\stackrel{\to }{AE}·\stackrel{\to }{AF}=1,\stackrel{\to }{CE}·\stackrel{\to }{CF}=-\frac{2}{3}$，则 $\lambda +\mu =$(  )

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

已知一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$），则该几何体的体积为$m^3$．

设$\left\{a_n\right\}$是首项为$a_1$，公差为$-1$的等差数列，$S_n$为其前$n$项和．若$S_1,S_2,S_4$成等比数列，则$a_1$的值为．

在$△ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$．已知$b-c=\frac{1}{4}a$，$2\sin B=3\sin C$，则$\cos A$的值为．

在以$O$为极点的极坐标系中，圆$r=4\sin q$和直线$r\sin q=a$相交于$A,B$两点．若$∆AOB$是等边三角形，则$a$的值为．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x^2+3x\right|$， $x\in R$．若方程 $f\left(x\right)-a\left|x-1\right|=0$恰有4个互异的实数根，则实数 $a$的取值范围为．

已知函数$f\left(x\right)=\cos x·\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$，$x\in R$．
（1）求$f\left(x\right)$的最小正周期；
（2）求$f\left(x\right)$在闭区间$\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$上的最大值和最小值．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设$X$为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量$X$的分布列和数学期望．

如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PA\perp \mathrm{底面}ABCD,AD\perp AB,AB\parallel DC$，$AD=DC=AP=2$，$AB=1$，点$E$为棱$PC$的中点．

（1）证明：$BE\perp DC$；
（2）求直线$BE$与平面$PBD$所成角的正弦值；
（3）若$F$为棱$PC$上一点，满足$BF\wedge AC$，求二面角$FF-AB-P$的余弦值．

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点为 $F_1,F_2$，右顶点为 $A$，上顶点为 $B$．已知 $\left|AB\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_1{F}_2\right|$．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 $P$为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $PB$为直径的圆经过点 $F_1$，经过原点 $O$的直线 $l$与该圆相切，求直线 $l$的斜率．

已知$q$和$n$均为给定的大于1的自然数，设集合$M=\{0,1,2,\dots ,q-1\}$，集合$A=\left\{x\right|x=x_1+x_{2}q+\dots +x_n{q}_n﹣1，x_i\in M,i=1,2,\dots n\}$.

（Ⅰ）当$q=2,n=3$时，用列举法表示集合$A$；

（Ⅱ）设$s,t\in A$，$s=a_1+a_{2}q+\dots +a_n{q}^{n﹣1},t=b_1+b_{2}q+\dots +b_n{q}^{n﹣1}$，其中$a_i,b_i\in M$，$i=1,2,...,n$.证明：若$a_n＜b_n$，则$s<t$.

已知函数$f\left(x\right)=x-a{e}^x(a\in R),x\in R$．已知函数$y=f\left(x\right)$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．
（1）求$a$的取值范围；
（2）证明$\frac{x_2}{x_1}$随着$a$的减小而增大；
（3）证明$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大．