高中数学试题

在直角坐标系 $xOy$中，点 $P$到 $x$轴的距离等于点 $P$到点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$的距离，记动点 $P$的轨迹为 $W$．

（1）求 $W$的方程；

（2）已知矩形 $ABCD$有三个顶点在 $W$上，证明：矩形 $ABCD$的周长大于 $3\sqrt{3}$．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}+a\right)\ln \left(1+x\right)$．

（1）当 $a=-1$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；

（2）是否存在 $a$， $b$，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$关于直线 $x=b$对称，若存在，求 $a$， $b$的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$存在极值，求 $a$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}+a\right)\ln \left(1+x\right)$．

（1）当 $a=-1$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；

（2）若函数 $f\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$单调递增，求 $a$的取值范围．

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d\in (0,\pi ]$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\sin \left(a_n\right)$ ，集合 $S=\left\{x\right|x=b_n,n\in N^{*}\}$ ．

（1）若 $a_1=0,d=\frac{2\pi }{3}$ ，求集合 $S$ ；

（2）若 $a_1=\frac{\pi }{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

（3）若集合 $S$ 恰好有三个元素： $b_{n+T}=b_n$，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

设函数 $f\left(x\right)={\text{e}}^x\cos x,g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（Ⅱ）当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$时，证明 $f\left(x\right)+g\left(x\right)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ge 0$；

（Ⅲ）设 $x_n$为函数 $u\left(x\right)=f\left(x\right)-1\mathit{ }$在区间 $\left(2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{4},2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}\right)$内的零点，其中 $n\in N$，证明 $2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{e^{-2\mathit{n\pi }}}{\sin x_0-\cos x_0}$．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x\in [-2,4]$ 时，求证： $x-6\le f\left(x\right)\le x$ ；

（Ⅲ）设 $F\left(x\right)=\left|f\right(x)-(x+a\left)\right|(a\in R)$ ，记 $F\left(x\right)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M\left(a\right)$ ，当 $M\left(a\right)$ 最小时，求 $a$ 的值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，椭圆 $E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线 $l：y=k_{1}x﹣\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为 $k_2$ ， 且看 $k_1{k}_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且 $\left|\mathit{MC}\right|：\left|\mathit{AB}\right|=2：3$ ，⊙M的半径为 $\left|\mathit{MC}\right|$ ，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求 $\angle \mathit{SOT}$ 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{│x}+1\mathit{│–│x–}2│$ .

（1）求不等式 $f\left(x\right)\ge 1$ 的解集；

（2）若不等式 $f\left(x\right)\ge x^2\mathit{–x}+m$ 的解集非空，求实数 m的取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{lnx}+a{x}^2+(2a+1)$ x．

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）当 $a﹤0$ 时，证明 $f\left(x\right)\le -\frac{3}{4a}-2$ ．

在平面直角坐标系xOy中，设点集 $A_n=\left\{\right(0,0),(1,0),(2,0),\dots ,(n,0\left)\right\}$ ， $B_n=\left\{\right(0,1),(n,1)\text{}},C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\cdots ,(n,2)\},n\in N^{*}.$   

令 $M_n=A_n\cup B_n\cup C_n$ .从集合 M _n中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离.

（1）当 n=1时，求 X的概率分布；    

（2）对给定的正整数 n（ n≥3），求概率 P（ X≤ n）（用 n表示）.

设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当x ₁＜x ₂时，都有f（x ₁）≤f（x ₂）.

（1）若f（x）=ax ³+1，求a的取值范围；

（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；

（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"．

已知一个口袋有 $m$个白球， $n$个黑球 $（m，n\in N^{*}\mathit{ }，\mathit{n}\ge 2）$ ，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…， $m+n$ 的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉 $（k=1，2，3，\dots ，m+n）$ ．

（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 $p$；

（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， $E（X）$ 是 $X$ 的数学期望，证明 $E（X\mathit{）＜}\frac{n}{(m+n)(n-1)}$ ．

已知函数 $f（x）=x^3+a{x}^2+\mathit{bx}+1（a＞0，b\in R）$ 有极值，且导函数 $f\text{'}（x）$ 的极值点是 $f（x）$ 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明： $b^2＞3a$ ；

（Ⅲ）若 $f（x）$ ， $f\text{'}（x）$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $﹣\frac{7}{2}$ ，求a的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=–x^2+\mathit{ax}+4，g\left(x\right)=\mathit{│x}+1│+\mathit{│x–}1│$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集；

（2）若不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集包含 $\left[–1，1\right]$ ，求 a的取值范围.

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有两个零点，求 a的取值范围.