高中数学选择题

已知 $\sin \left(\alpha -\beta \right)=\frac{1}{3}$， $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，则 $\cos \left(2\alpha +2\beta \right)=$　（ ）

A．

$\frac{7}{9}$

B．

$\frac{1}{9}$

C．

$-\frac{1}{9}$

D．

$-\frac{7}{9}$

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，设甲： $\left\{a_n\right\}$为等差数列；乙： $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$为等差数列，则（ ）

A．	甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．	甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．	甲是乙的充要条件
D．	甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

过点 $\left(0,-2\right)$与圆 $x^2+y^2-4x-1=0$相切的两条直线的夹角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =$　　（ ）

A．

$1$

B．

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

设椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$， $C_2:\frac{x^2}{4}+y^2=1$的离心率分别为 $e_1$， $e_2$．若 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$，则 $a=$（ ）

A．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$\sqrt{6}$

设函数 $f\left(x\right)=2^{x\left(x-2\right)}$在区间 $\left(0,1\right)$单调递减，则 $a$的取值范围是（ ）

A．

$(-\infty ,-2]$

B．

$[-2,0)$

C．

$(0,2]$

D．

$[2,+\infty )$

已知向量 $\overrightarrow{a}=\left(1,1\right)$， $\overrightarrow{b}=\left(1,-1\right)$．若 $\left(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\right)\perp \left(\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}\right)$，则（ ）

A．

$\lambda +\mu =1$

B．

$\lambda +\mu =-1$

C．

$\lambda \mu =1$

D．

$\lambda \mu =-1$

已知 $z=\frac{1-i}{2+2i}$，则 $z-\overline{z}=$　（ ）

A．

$-i$

B．

$i$

C．

$0$

D．

$1$

已知集合 $M=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$， $N=\left\{\overline{)x}{x}^2-x-6\ge 0\right\}$，则 $M\cap N=$　（ ）

A．

$\left\{-2,-1,0,1\right\}$

B．

$\left\{0,1,2\right\}$

C．

$\left\{-2\right\}$

D．

$\left\{2\right\}$

已知 $\odot O$的半径为 $1$，直线 $PA$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $PB$与 $\odot O$交于 $B$， $C$两点， $D$为 $BC$的中点，若 $\left|PO\right|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PD}$的最大值为（ ）

A．

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

C．

$1+\sqrt{2}$

D．

$2+\sqrt{2}$

设 $A$， $B$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$中点的是（ ）

A．

$\left(1,1\right)$

B．

$\left(-1,2\right)$

C．

$\left(1,3\right)$

D．

$\left(-1,-4\right)$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$，集合 $S=\left\{\overline{)\cos a_n}n\in N^{*}\right\}$，若 $S=\left\{a,b\right\}$，则 $ab=$（ ）

A．

$-1$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$0$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $△ABC$为等腰直角三角形， $AB$为斜边， $△ABD$为等边三角形，若二面角 $C-AB-D$为 $150°$，则直线 $CD$与平面 $ABC$所成角的正切值为（ ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{5}$

D．

$\frac{2}{5}$

已知圆锥 $PO$的底面半径为 $\sqrt{3}$， $O$为底面圆心， $PA$， $PB$为圆锥的母线， $\angle AOB=120°$，若 $△PAB$的面积等于 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为（ ）

A．

$\mathrm{\pi }$

B．

$\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

C．

$3\mathrm{\pi }$

D．

$3\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

甲乙两位同学从 $6$种课外读物中各自选读 $2$种，则这两人选读的课外读物中恰有 $1$种相同的选法共有（ ）

A．

$30$种

B．

$60$种

C．

$120$种

D．

$240$种

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)$在区间 $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$单调递增，直线 $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$和 $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$为函数 $y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=$　（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$