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高中数学

在直角坐标系 xOy 中,点 P x 轴的距离等于点 P 到点 0 , 1 2 的距离,记动点 P 的轨迹为 W

(1)求 W 的方程;

(2)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上,证明:矩形 ABCD 的周长大于 3 3

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为 0.6 ,乙每次投篮的命中率均为 0.8 .由抽签确定第 1 次投篮的人选,第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5

(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第 i 次投篮的人是甲的概率;

(3)已知:若随机变量 X i 服从两点分布,且 P X i = 1 =1-P X i = 0 = q i i=1,2,...,n E X i i = 1 n = q i i = 1 n .记前 n 次(即从第 1 次到第 n 次投篮)中甲投篮的次数为 Y ,求 E Y

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

设等差数列 a n 的公差为 d ,且 d>1 .令 b n = n2 + n a n ,记 S n T n 分别为数列 a n b n 的前 n 项和.

(1)若 3 a 2 =3 a 1 + a 3 S 3 + T 3 =21 ,求 a n 的通项公式;

(2)若 b n 为等差数列,且 S 99 - T 99 =99 ,求 d

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知函数 f x =a ex + a -x

(1)讨论 f x 的单调性;

(2)证明:当 a>0 时, f x >2lna+ 3 2

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在正四棱柱 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB=2 A A 1 =4 .点 A 2 B 2 C 2 D 2 分别在棱 A A 1 B B 1 C C 1 D D 1 上, A A 2 =1 B B 2 =D D 2 =2 C C 2 =3

(1)证明: B 2 C 2 A 2 D 2

(2)点 P 在棱 B B 1 上,当二面角 P- A 2 C 2 - D 2 150° 时,求 B 2 P

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知在 ABC 中, A+B=3C 2sin A - C =sinB

(1)求 sinA

(2)设 AB=5 ,求 AB 边上的高.

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

[选修4-5:不等式选讲]

已知 f x =2 x + x - 2

(1)求不等式 f x 6-x 的解集;

(2)在直角坐标系 xOy 中,求不等式组 f x y x + y - 6 0 所确定的平面区域的面积.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=2sinθ π 4 θ π 2 ,曲线 C 2 : x = 2 cos α y = 2 sin α α 为参数, π 2 <α<π ).

(1)写出 C 1 的直角坐标方程;

(2)若直线 y=x+m 既与 C 1 没有公共点,也与 C 2 没有公共点、求 m 的取值范围.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知函数 f x = 1 x + a ln 1 + x

(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f x 在点 1 , f 1 处的切线方程;

(2)是否存在 a b ,使得曲线 y=f 1 x 关于直线 x=b 对称,若存在,求 a b 的值,若不存在,说明理由;

(3)若 f x 0 , + 存在极值,求 a 的取值范围.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
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已知椭圆 C: y2 a2 + x2 b2 =1 a > b > 0 的离心率为 5 3 ,点 A - 2 , 0 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)过点 - 2 , 3 的直线交 C 于点 P Q 两点,直线 AP AQ y 轴的交点分别为 M N ,证明:线段 MN 的中点为定点.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
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如图,在三棱锥 P-ABC 中, ABBC AB=2 BC=2 2 PB=PC= 6 AD= 5 DO BP AP BC 的中点分别为 D E O ,点 F AC 上, BFAO

(1)证明: EF 平面 ADO

(2)证明:平面 ADO 平面 BEF

(3)求二面角 D-AO-C 的正弦值.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

ABC 中,已知 BAC=120° AB=2 AC=1

(1)求 sinABC

(2)若 D BC 上一点.且 BAD=90° ,求 ADC 的面积.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行 10 次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 x i y i i = 1 , 2 , . . . 10 .试验结果如下:

试验序号 i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

伸缩率 x i

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548

伸缩率 y i

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

z i = x i - y i i = 1 , 2 , . . . 10 ,记 z 1 , z 2 ,... z 10 的样本平均数为 z ¯ ,样本方差为 s2

(1)求 z ¯ s2

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如果 z ¯ 2 s2 10 ,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高)

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
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[选修4-5:不等式选讲]

已知 f x =2 x + x - 2

(1)求不等式 f x 6-x 的解集;

(2)在直角坐标系 xOy 中,求不等式组 f x y x + y - 6 0 所确定的平面区域的面积.

来源:2023年全国统一高考文科数学试卷(全国乙卷)
  • 题型:未知
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[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=2sinθ π 4 θ π 2 ,曲线 C 2 : x = 2 cos α y = 2 sin α α 为参数, π 2 <α<π ).

(1)写出 C 1 的直角坐标方程;

(2)若直线 y=x+m 既与 C 1 没有公共点,也与 C 2 没有公共点、求 m 的取值范围.

来源:2023年全国统一高考文科数学试卷(全国乙卷)
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