初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{EAD}=\angle \mathit{EDA}$，点 $F$为 $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{AC}$的延长线的交点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{EF}$；

（2）判断 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的周长为19，点 $D$， $E$在边 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{ABC}$的平分线垂直于 $\mathit{AE}$，垂足为 $N$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线垂直于 $\mathit{AD}$，垂足为 $M$，若 $\mathit{BC}=7$，则 $\mathit{MN}$的长度为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{2}$B．2C． $\frac{5}{2}$D．3

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{CM}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且 $\mathit{MN}$平分 $\angle \mathit{AMC}$，若 $\mathit{AN}=1$，则 $\mathit{BC}$的长为 $($　　 $)$

A．4B．6C． $4\sqrt{3}$D．8

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{CB}$于点 $F$．若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{AB}=5$，则 $\mathit{CE}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{2}$B． $\frac{4}{3}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{8}{5}$

如图，已知 $D$， $E$分别为 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上两点，点 $A$， $C$， $E$在 $\odot D$上，点 $B$， $D$在 $\odot E$上． $F$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $N$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$．

（1）若 $\angle \mathit{EBD}$为 $\alpha$，请将 $\angle \mathit{CAD}$用含 $\alpha$的代数式表示；

（2）若 $\mathit{EM}=\mathit{MB}$，请说明当 $\angle \mathit{CAD}$为多少度时，直线 $\mathit{EF}$为 $\odot D$的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\sqrt{3}$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{MF}}$的值．

以正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，则 $\angle \mathit{BEC}$的度数是　        　．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$是圆上异于 $A$、 $B$的一点，连结 $\mathit{BC}$并延长至点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{BC}$，连结 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连结 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等腰三角形；

（2）连结 $\mathit{OC}$并延长，与以 $B$为切点的切线交于点 $F$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CF}=1$，求 $\mathit{DE}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$与点 $B$在 $\mathit{AC}$同侧， $\angle \mathit{DAC}>\angle \mathit{BAC}$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{DA}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$， $M$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系是　       　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ADC}=60°$时，试探究线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ADC}=\alpha$时，求 $\frac{\mathit{ME}}{\mathit{MD}}$的值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$的外侧，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，则 $\angle \mathit{BED}$的度数是　    　．

如图， $\odot O$中， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}=\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$， $\angle \mathit{ABC}=70°$．则 $\angle \mathit{BOC}$的度数为 $($　　 $)$

A． $100°$B． $90°$C． $80°$D． $70°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBC}\cong \mathit{\Delta ECB}$；

（2）求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BC}$方向平移得到 $\mathit{\Delta DEF}$，其中点 $E$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OEC}$为等腰三角形；

（2）连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DC}$、 $\mathit{AD}$，当点 $E$在什么位置时，四边形 $\mathit{AECD}$为矩形，并说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BE}$，连接 $\mathit{AE}$， $G$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{GF}$，若 $\mathit{AE}=4$，则 $\mathit{GF}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作圆 $O$，分别交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{CA}$的延长线于点 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{DE}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是圆 $O$的切线；

（2）若 $A$为 $\mathit{EH}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FD}}$的值；

（3）若 $\mathit{EA}=\mathit{EF}=1$，求圆 $O$的半径．