初中数学试题

将代入反比例函数中，所得函数值记为y₁，又将x＝y₁＋1代入原反比例函数中，所得函数值记为y₂，再将x＝y₂＋1代入原反比例函数中，所得函数值记为y₃，…，如此继续下去，则y₂₀₁₅＝________．

（本小题10分）如图，已知、是一次函数的图象与反比例函数
的图象的两个交点.

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围.

如图，等腰直角三角形顶点在轴上，，，反比例函数的图象分别与，交于点、．连结，当∽时，点的坐标为．

如图，已知抛物线经过点、，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线第一象限上有一动点，过点作轴，垂足为，请求出的最大值，及此时点坐标；
（3）抛物线顶点为，轴于点，一块三角板直角顶点在线段上滑动，且一直角边过点，另一直角边与轴交于，请求出实数的变化范围，并说明理由．

沿海开发公司准备投资开发、两种新产品，通过市场调研发现：
（1）若单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足正比例函数关系：；
（2）若单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足二次函数关系：．
（3）根据公司信息部的报告，，（万元）与投资金额（万元）的部分对应值如下表所示：

	1	5
	0.8	4
	3.8	15

（1）填空：；；
（2）若公司准备投资20万元同时开发、两种新产品，设公司所获得的总利润为（万元），试写出与某种产品的投资金额（万元）之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？

当a＞0且x＞0时，因为≥0，所以≥0，从而（当时取等号）．记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为．
（1）已知函数y₁=x（x＞0）与函数，则当x= 1 时，y₁+y₂取得最小值为2 ．
（2）已知函数y₁=x+1（x＞﹣1）与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s₁₀=；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．
①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；
（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；
（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．

阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．

小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角（），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂ ， DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求的值；
（3）若图1中∠B=，（2）中的其余条件不变，判断的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含的式子表示）；如果不是，请说明理由．

阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．

（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？
（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？
（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

如图1，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P在直线上AC（不与点O重合），作直线BP，分别作AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F．

（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）如图2，连接OE，OF，判断OE、OF的关系并证明你的结论；
（3）若点P在如图3所示位置，请判断线段AE，OE，CF三者之间的关系，直接写出结论．