初中数学反比例函数综合题试题

已知点 $A(a,m)$在双曲线 $y=\frac{8}{x}$上且 $m<0$，过点 $A$作 $x$轴的垂线，垂足为 $B$．

（1）如图1，当 $a=-2$时， $P(t,0)$是 $x$轴上的动点，将点 $B$绕点 $P$顺时针旋转 $90°$至点 $C$．

①若 $t=1$，直接写出点 $C$的坐标；

②若双曲线 $y=\frac{8}{x}$经过点 $C$，求 $t$的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线 $y=\frac{8}{x}(x>0)$沿 $y$轴折叠得到双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$，将线段 $\mathit{OA}$绕点 $O$旋转，点 $A$刚好落在双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$上的点 $D(d,n)$处，求 $m$和 $n$的数量关系．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$过点 $A(3,4)$，直线 $\mathit{AC}$与 $x$轴交于点 $C(6,0)$，过点 $C$作 $x$轴的垂线 $\mathit{BC}$交反比例函数图象于点 $B$．

（1）求 $k$的值与 $B$点的坐标；

（2）在平面内有点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 $D$点的坐标．

已知反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $A(2,3)$．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象上点 $A$的右侧取点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交 $x$轴于点 $H$，过点 $A$作 $y$轴的垂线交直线 $\mathit{CH}$于点 $D$．

①过点 $A$，点 $C$分别作 $x$轴， $y$轴的垂线，两线相交于点 $B$，求证： $O$， $B$， $D$三点共线；

②若 $\mathit{AC}=2\mathit{OA}$，求证： $\angle \mathit{AOD}=2\angle \mathit{DOH}$．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，将一块含有 $45°$角的直角三角板如图放置，直角顶点 $C$的坐标为 $(1,0)$，顶点 $A$的坐标为 $(0,2)$，顶点 $B$恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿 $x$轴正方向平移，当顶点 $A$恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 $C$的对应点 $C\text{'}$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(\frac{3}{2}$， $0)$B． $(2,0)$C． $(\frac{5}{2}$， $0)$D． $(3,0)$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点分别在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$与 $y=\frac{n}{x}(x>0,0<m<n)$的图象上，对角线 $\mathit{BD}//y$轴，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $P$．已知点 $B$的横坐标为4．

（1）当 $m=4$， $n=20$时．

①若点 $P$的纵坐标为2，求直线 $\mathit{AB}$的函数表达式．

②若点 $P$是 $\mathit{BD}$的中点，试判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

（2）四边形 $\mathit{ABCD}$能否成为正方形？若能，求此时 $m$， $n$之间的数量关系；若不能，试说明理由．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于 $A(-3,2)$、 $B(1,n)$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）点 $P$在 $x$轴上，当 $\mathit{\Delta PAO}$为等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4,4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为 　　；

②若点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3,-4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6,-2)$ 若使函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，函数 $y=-x+b$的图象与函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象相交于点 $A(-1,6)$，并与 $x$轴交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{\Delta ODC}$与 $\mathit{\Delta OAC}$的面积比为 $2:3$．

（1） $k=$　 　， $b=$　 　；

（2）求点 $D$的坐标；

（3）若将 $\mathit{\Delta ODC}$绕点 $O$逆时针旋转，得到△ $O{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，其中点 $D^{\text{'}}$落在 $x$轴负半轴上，判断点 $C^{\text{'}}$是否落在函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象上，并说明理由．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象交于点 $A(-4,m)$，且与 $y$轴交于点 $B$，第一象限内点 $C$在反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象上，且以点 $C$为圆心的圆与 $x$轴， $y$轴分别相切于点 $D$， $B$

（1）求 $m$的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当 $y_1<y_2<0$时，写出 $x$的取值范围．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $A$点的坐标为 $(a,6)$， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\cos \angle \mathit{OAB}==\frac{3}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的一支分别交 $\mathit{AO}$、 $\mathit{AB}$于点 $C$、 $D$．延长 $\mathit{AO}$交反比例函数的图象的另一支于点 $E$．已知点 $D$的纵坐标为 $\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 $\mathit{EB}$的解析式；

（3）求 $S_{\mathit{\Delta OEB}}$．

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{12}{x}(x>0)\\ \frac{3}{x}(x<0)\end{array}\right.$的图象如图所示，点 $P$是 $y$轴负半轴上一动点，过点 $P$作 $y$轴的垂线交图象于 $A$， $B$两点，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$．下列结论：

①若点 $M_1(x_1$， $y_1)$， $M_2(x_2$， $y_2)$在图象上，且 $x_1<x_2<0$，则 $y_1<y_2$；

②当点 $P$坐标为 $(0,-3)$时， $\mathit{\Delta AOB}$是等腰三角形；

③无论点 $P$在什么位置，始终有 $S_{\mathit{\Delta AOB}}=7.5$， $\mathit{AP}=4\mathit{BP}$；

④当点 $P$移动到使 $\angle \mathit{AOB}=90°$时，点 $A$的坐标为 $(2\sqrt{6}$， $-\sqrt{6})$．

其中正确的结论个数为 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4