初中数学反比例函数综合题试题

如图，在直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=1$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过 $\mathit{BC}$边的中点 $D(3,1)$．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta EFG}$成中心对称，且 $\mathit{\Delta EFG}$的边 $\mathit{FG}$在 $y$轴的正半轴上，点 $E$在这个函数的图象上．

①求 $\mathit{OF}$的长；

②连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$，证明四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形．

矩形 $\mathit{AOBC}$中， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OA}=3$．分别以 $\mathit{OB}$， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴， $y$轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$是 $\mathit{BC}$边上一个动点（不与 $B$， $C$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与边 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）当点 $F$运动到边 $\mathit{BC}$的中点时，求点 $E$的坐标；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{EFC}$的正切值；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta CEF}$沿 $\mathit{EF}$折叠，点 $C$恰好落在边 $\mathit{OB}$上的点 $G$处，求此时反比例函数的解析式．

如图，在矩形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OC}=2$， $F$是 $\mathit{AB}$上的一个动点 $(F$不与 $A$， $B$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与 $\mathit{BC}$边交于点 $E$．

（1）当 $F$为 $\mathit{AB}$的中点时，求该函数的解析式；

（2）当 $k$为何值时， $\mathit{\Delta EFA}$的面积最大，最大面积是多少？

如图，过 $C$ 点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ 两点，且 $\mathit{BC}=\mathit{AB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴，垂足为点 $H$ ，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象于点 $D$ ，连接 $\mathit{OD}$ ， $\mathit{\Delta ODH}$ 的面积为6．

（1）求 $k$ 值和点 $D$ 的坐标；

（2）如图，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{OC}$ ，点 $E$ 在直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$ 上，且位于第二象限内，若 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积是 $\mathit{\Delta OCD}$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标．

如图，在直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于关于原点对称的 $A$， $B$两点，已知 $A$点的纵坐标是3．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 $C$，如果 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．

已知点 $A(a,m)$在双曲线 $y=\frac{8}{x}$上且 $m<0$，过点 $A$作 $x$轴的垂线，垂足为 $B$．

（1）如图1，当 $a=-2$时， $P(t,0)$是 $x$轴上的动点，将点 $B$绕点 $P$顺时针旋转 $90°$至点 $C$．

①若 $t=1$，直接写出点 $C$的坐标；

②若双曲线 $y=\frac{8}{x}$经过点 $C$，求 $t$的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线 $y=\frac{8}{x}(x>0)$沿 $y$轴折叠得到双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$，将线段 $\mathit{OA}$绕点 $O$旋转，点 $A$刚好落在双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$上的点 $D(d,n)$处，求 $m$和 $n$的数量关系．

如图1，一次函数 $y=-x+b$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于点 $A(1,3)$， $B(m,1)$，与 $x$轴交于点 $D$，直线 $\mathit{OA}$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象的另一支交于点 $C$，过点 $B$作直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $E$是点 $D$关于直线 $l$的对称点．

（1） $k=$　 　；

（2）判断点 $B$、 $E$、 $C$是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点 $F$在 $x$轴正半轴上， $\mathit{OF}=\frac{3}{2}$，点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象位于第一象限部分上的点（点 $P$在点 $A$的上方）， $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{EBF}$，则点 $P$的坐标为 $($　　，　　 $)$．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

如图，已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x<0)$的图象交于点 $B(-2,n)$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp x$轴于点 $C$，点 $D(3-3n,1)$是该反比例函数图象上一点．

（1）求 $m$的值；

（2）若 $\angle \mathit{DBC}=\angle \mathit{ABC}$，求一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的表达式．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$过点 $A(3,4)$，直线 $\mathit{AC}$与 $x$轴交于点 $C(6,0)$，过点 $C$作 $x$轴的垂线 $\mathit{BC}$交反比例函数图象于点 $B$．

（1）求 $k$的值与 $B$点的坐标；

（2）在平面内有点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 $D$点的坐标．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $A$点的坐标为 $(a,6)$， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\cos \angle \mathit{OAB}==\frac{3}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的一支分别交 $\mathit{AO}$、 $\mathit{AB}$于点 $C$、 $D$．延长 $\mathit{AO}$交反比例函数的图象的另一支于点 $E$．已知点 $D$的纵坐标为 $\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 $\mathit{EB}$的解析式；

（3）求 $S_{\mathit{\Delta OEB}}$．

如图， $A(4,3)$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上一点，连接 $\mathit{OA}$，过 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，截取 $\mathit{AB}=\mathit{OA}(B$在 $A$右侧），连接 $\mathit{OB}$，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $P$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）求点 $B$的坐标；

（3）求 $\mathit{\Delta OAP}$的面积．