初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

如图，是将抛物线 $y=-x^2$平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x=1$，与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$，另一个交点为 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$为抛物线上一点，且 $\mathit{BC}\perp \mathit{NC}$，求点 $N$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上一点，点 $Q$是一次函数 $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形 $\mathit{OAPQ}$为平行四边形，这样的点 $P$、 $Q$是否存在？若存在，分别求出点 $P$、 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数 $y=m{x}^2-(2m-5)x+m-2$的图象与 $x$轴有两个公共点．

（1）求 $m$的取值范围，并写出当 $m$取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_1$．

①当 $n⩽x⩽-1$时， $y$的取值范围是 $1⩽y⩽-3n$，求 $n$的值；

②函数 $C_2:y=m{(x-h)}^2+k$的图象由函数 $C_1$的图象平移得到，其顶点 $P$落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数 $C_1$的图象顶点为 $M$，求点 $P$与点 $M$距离最大时函数 $C_2$的解析式．

已知，点 $M$是二次函数 $y=a{x}^2(a>0)$图象上的一点，点 $F$的坐标为 $(0,\frac{1}{4a})$，直角坐标系中的坐标原点 $O$与点 $M$， $F$在同一个圆上，圆心 $Q$的纵坐标为 $\frac{1}{8}$．

（1）求 $a$的值；

（2）当 $O$， $Q$， $M$三点在同一条直线上时，求点 $M$和点 $Q$的坐标；

（3）当点 $M$在第一象限时，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴，垂足为点 $N$，求证： $\mathit{MF}=\mathit{MN}+\mathit{OF}$．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+1$与 $x$轴仅有一个公共点 $A$，经过点 $A$的直线交该抛物线于点 $B$，交 $y$轴于点 $C$，且点 $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的函数解析式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点坐标为 $(2,9)$，与 $y$轴交于点 $A(0,5)$，与 $x$轴交于点 $E$、 $B$．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AC}$平行于 $x$轴，交抛物线于点 $C$，点 $P$为抛物线上的一点（点 $P$在 $\mathit{AC}$上方），作 $\mathit{PD}$平行于 $y$轴交 $\mathit{AB}$于点 $D$，问当点 $P$在何位置时，四边形 $\mathit{APCD}$的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点 $M$在抛物线上，点 $N$在其对称轴上，使得以 $A$、 $E$、 $N$、 $M$为顶点的四边形是平行四边形，且 $\mathit{AE}$为其一边，求点 $M$、 $N$的坐标．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$，自变量 $x$与函数 $y$的对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	$\dots$
$y$	$\dots$	4	0	$-2$	$-2$	0	4	$\dots$

下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．抛物线的开口向下

B．当 $x>-3$时， $y$随 $x$的增大而增大

C．二次函数的最小值是 $-2$

D．抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{5}{2}$

抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(3\sqrt{3}$ ， $0)$ 和点 $B(0,3)$ ，且这个抛物线的对称轴为直线 $l$ ，顶点为 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别在 $x$轴、 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(4$， $t\left)\right(t>0)$，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象经过点 $B$，顶点为点 $D$．

（1）当 $t=12$时，顶点 $D$到 $x$轴的距离等于　     　；

（2）点 $E$是二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象与 $x$轴的一个公共点（点 $E$与点 $O$不重合），求 $\mathit{OE}·\mathit{EA}$的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $\mathit{OABC}$的对角线 $\mathit{OB}$、 $\mathit{AC}$交于点 $F$，直线 $l$平行于 $x$轴，交二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象于点 $M$、 $N$，连接 $\mathit{DM}$、 $\mathit{DN}$，当 $\mathit{\Delta DMN}\cong \mathit{\Delta FOC}$时，求 $t$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2-2x-3$交 $x$轴于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），将该抛物线位于 $x$轴上方曲线记作 $M$，将该抛物线位于 $x$轴下方部分沿 $x$轴翻折，翻折后所得曲线记作 $N$，曲线 $N$交 $y$轴于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求曲线 $N$所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆的半径；

（3）点 $P$为曲线 $M$或曲线 $N$上的一动点，点 $Q$为 $x$轴上的一个动点，若以点 $B$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(4,0)$，顶点为 $B$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BO}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$是 $\mathit{BO}$的中点，点 $Q$在线段 $\mathit{AB}$上，设点 $B$关于直线 $\mathit{CQ}$的对称点为 $B^{\text{'}}$，当 $\mathit{\Delta OC}{B}^{\text{'}}$为等边三角形时，求 $\mathit{BQ}$的长度；

（3）若点 $D$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{OD}=2\mathit{DB}$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{\Delta OAB}$的边上，且满足 $\mathit{\Delta DOF}$与 $\mathit{\Delta DEF}$全等，求点 $E$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．