如图，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+1$与 $x$轴仅有一个公共点 $A$，经过点 $A$的直线交该抛物线于点 $B$，交 $y$轴于点 $C$，且点 $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的函数解析式．