初中数学抛物线与x轴的交点解答题

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B$ $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ABC}$，若存在请直接写出点 $P$的坐标．若不存在，请说明理由．

已知关于 $x$的一元二次方程 $m{x}^2+(1-5m)x-5=0(m\ne 0)$．

（1）求证：无论 $m$为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y=m{x}^2+(1-5m)x-5$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0)$两点，且 $|x_1-x_2|=6$，求 $m$的值；

（3）若 $m>0$，点 $P(a,b)$与 $Q(a+n,b)$在（2）中的抛物线上（点 $P$、 $Q$不重合），求代数式 $4a^2-n^2+8n$的值．

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的顶点在一次函数 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的图象上，则称 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$为 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的伴随函数，如： $y=x^2+1$是 $y=x+1$的伴随函数．

（1）若 $y=x^2-4$是 $y=-x+p$的伴随函数，求直线 $y=-x+p$与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y=\mathit{mx}-3(m\ne 0)$的伴随函数 $y=x^2+2x+n$与 $x$轴两个交点间的距离为4，求 $m$， $n$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-x^2+6x-5$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $P$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CP}$，过点 $C$作 $y$轴的垂线 $l$．

（1）求点 $P$， $C$的坐标；

（2）直线 $l$上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PBQ}$的面积等于 $\mathit{\Delta PAC}$的面积的2倍？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$， $B$的坐标，并根据该函数图象写出 $y⩾0$时 $x$的取值范围．

（2）把点 $B$向上平移 $m$个单位得点 $B_1$．若点 $B_1$向左平移 $n$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_2$重合；若点 $B_1$向左平移 $(n+6)$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_3$重合．已知 $m>0$， $n>0$，求 $m$， $n$的值．

某学习小组在研究函数 $y=\frac{1}{6}{x}^3-2x$的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

$x$	$\dots$	$-4$	$-3.5$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	3.5	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{7}{48}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{11}{6}$	0	$-\frac{11}{6}$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{3}{2}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{8}{3}$	$\dots$

（1）请补全函数图象；

（2）方程 $\frac{1}{6}{x}^3-2x=-2$实数根的个数为　 　；

（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

已知 $k$是常数，抛物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$的对称轴是 $y$轴，并且与 $x$轴有两个交点．

（1）求 $k$的值；

（2）若点 $P$在物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$上，且 $P$到 $y$轴的距离是2，求点 $P$的坐标．

已知二次函数 $y=2(x-1)(x-m-3)(m$为常数）．

（1）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴总有公共点；

（2）当 $m$取什么值时，该函数的图象与 $y$轴的交点在 $x$轴的上方？

已知二次函数 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$图象的顶点坐标为 $(3,8)$，该二次函数图象的对称轴与 $x$轴的交点为 $A$， $M$是这个二次函数图象上的点， $O$是原点．

（1）不等式 $b+2c+8⩾0$是否成立？请说明理由；

（2）设 $S$是 $\mathit{\Delta AMO}$的面积，求满足 $S=9$的所有点 $M$的坐标．

如图， $\mathit{\Delta AOB}$的顶点 $A$、 $B$分别在 $x$轴， $y$轴上， $\angle \mathit{BAO}=45°$，且 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为8．

（1）直接写出 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）过点 $A$、 $B$的抛物线 $G$与 $x$轴的另一个交点为点 $C$．

①若 $\mathit{\Delta ABC}$是以 $\mathit{BC}$为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；

②将抛物线 $G$向下平移4个单位后，恰好与直线 $\mathit{AB}$只有一个交点 $N$，求点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+4x-3$图象的顶点是 $A$，与 $x$轴交于 $B$， $C$两点，与 $y$轴交于点 $D$．点 $B$的坐标是 $(1,0)$．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y>0$时 $x$的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$恰好落在点 $A$的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m+2$的图象与 $x$轴有两个交点．

（1）当 $m=-2$时，求二次函数的图象与 $x$轴交点的坐标；

（2）过点 $P(0,m-1)$作直线 $l\perp y$轴，二次函数图象的顶点 $A$在直线 $l$与 $x$轴之间（不包含点 $A$在直线 $l$上），求 $m$的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 $l$相交于点 $B$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积最大时 $m$的值．

已知，点 $M$为二次函数 $y=-{(x-b)}^2+4b+1$图象的顶点，直线 $y=\mathit{mx}+5$分别交 $x$轴正半轴， $y$轴于点 $A$， $B$．

（1）判断顶点 $M$是否在直线 $y=4x+1$上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点 $A$， $B$，且 $\mathit{mx}+5>-{(x-b)}^2+4b+1$，根据图象，写出 $x$的取值范围．

（3）如图2，点 $A$坐标为 $(5,0)$，点 $M$在 $\mathit{\Delta AOB}$内，若点 $C(\frac{1}{4}$， $y_1)$， $D(\frac{3}{4}$， $y_2)$都在二次函数图象上，试比较 $y_1$与 $y_2$的大小．

已知二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $y$轴交于点 $C(0,-6)$，与 $x$轴的一个交点坐标是 $A(-2,0)$．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）将二次函数的图象沿 $x$轴向左平移 $\frac{5}{2}$个单位长度，当 $y<0$时，求 $x$的取值范围．

已知抛物线 $L:y=m{x}^2-8x+3m$与 $x$轴相交于 $A$和 $B(-1,0)$两点，并与 $y$轴相交于点 $C$．抛物线 $L\text{'}$与 $L$关于坐标原点对称，点 $A$、 $B$在 $L\text{'}$上的对应点分别为 $A\text{'}$、 $B\text{'}$

（1）求抛物线 $L$的函数表达式；

（2）在抛物线 $L\text{'}$上是否存在点 $P$，使得△ $P{A}^{\text{'}}A$的面积等于△ $C{B}^{\text{'}}B$的面积？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．